Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.М. -> "Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи" -> 38

Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.

Боголюбов Н.М., Изергин А.Г., Коретин В.Е. Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи — М.: Наука, 1992. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): korrelyacionniefunkciiintegriruemihsistem1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 84 >> Следующая

Матрица Т{2\Х) — это матрица монодромии на отрезке \х, L ], ее вакуумные собственные значения равны
Оператор ® = exp{i(L — х)Р}—это оператор сдвига на величину (L — x), а Р—это оператор импульса. Собственное значение оператора сдвига
(5.12) в данном случае равно v = exp{/(/. —х) ? X,}; это означает,
'=1
что собственное значение оператора импульса равно PN= ? что,
конечно, совпадает с (3.7).
Рассмотрим теперь такую однородную решеточную модель, что вакуумные собственные значения каждого из /.-операторов одинаковы и равны aL{k) и dL(\). В такой модели собственное значение оператора импульса равно
Для XXZ магнетика воспроизводим отсюда при N= 1 формулу (3.22).
Теорема, доказанная в этом параграфе, играет важную роль при вычислении корреляционных функций. Она оказалась полезной при построении квантовых локальных гамильтонианов на решетке
a j (Х) = ехр { — iXx/2}, dj (Х) = ехр {iXx/2}.
(5.15)
а2(^) = ехр{ — i\(L — х)/2}, d2(k) = exp \iX(L — x)/2}. (5-16)
JV
JV
(5.17)
[6.15].
112
ГЛ. VI. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНЗАТЦ БЕТЕ
§ 6. Классификация матриц монодромии
Рассмотрим матрицу монодромии
которая сплетается Д-матрицей модели (1.3), (1.4):
R(X, [1)(Г(}.)0Г(ц)) = (Г(ц)®Г{Хр(Х, ц). (6.2)
Потребуем, чтобы существовал псевдовакуум |0> (1.6):
/1(А)|0> = я(}.)|0>, X» (А.) 10> = rf(A.) 10>, С(А)|0> = 0. (6.3)
Теорема. Существует матрица монодромии (6.1), удовлетворяющая соотношениям (6.2), (6.3) при произвольных комплекснозначных функциях а (А) и d(X).
Для доказательства следует построить четыре линейных оператора А (X). 5(A), С(А), D{k) и пространство, в котором они действуют. Базисными векторами нашего пространства являются состояния N частиц с «импульсами» Аь ..., XN (импульсы — произвольные комплексные числа):
|*.b...,A,v>w, Мс> 7V=0, 1, 2, ... (6.4)
Эти состояния "?чяются симметричными функциям;: всех Xj. Состояние с N=0 отождествляется с нсевдовакуумом. Определим теперь действие наших операторов А, В, С, D в этом пространстве,
используя формулы алгебраического анзатца Бете. Оператор /?(ц)
является повышающим:
5(ц)1^ъ А]у)]у = |ц, А-!, ..., Ajv)jv+i. (6.5)
Действие операторов А (ц) и D (ц) сохраняет число частиц:
Л(ц)| {Xj})jv = A| {A;})jv+ Yi Л„|ц, (6.6)
п = 1
Д(и)КЧ>* = Л]{А;}>.,+ I Л.In, {WV (6.7)
n = 1
Здесь коэффициенты Л, Л задаются формулами (1.27), (1.28). Оператор C(fi) является понижающим:
JV
С(^)1 {A-j})jv = X Мп | {А^„})(]У-1)+ ^ ^кп I {^j^*,n})(jv-D- (6.8)
п =1 к>п
Коэффициенты М задаются формулами (2.3), (2.4). На этом заканчивается построение матрицы монодромии.
Докажем сначала, что построенная таким образом матрица удовлетворяет соотношению (6.2). Распишем матричное равенство
(6.2) как 16 скалярных соотношений (1.11)—(1.24). Црименим левую и правую части каждого из равенств к некоторому базисному вектору
(6.4). Путем непосредственных вычислений можно убедиться, что
§ 6. КЛАССИФИКАЦИЯ МАТРИЦ МОНОДРОМИИ
113
операторы, стоящие в левой и правой частях, действуют на любой базисный вектор одинаково. Отметим, что вычисления сводятся к тождествам, которым удовлетворяют функции /(А ц) и g(А, ц) (1.4). Чтобы проиллюстрировать необходимые вычисления, приведем доказательство того, что
Л(ц1)Л(ц2) = Л(ц2)Л(ц1). (6.9)
Применим A(]x2)A(\Xi) к базисному вектору |{А^}>„; при этом получится:
¦A(\i2)A(\xi)| {A.y})jv = a(ni)а(|л2) ПА^ь А;)/(ц2, А;)|{А;}>„ +
7=1
+ I "(Hi) П/(йь ^)а(>.„)^(>.„,ц2) П/(А„Д;)|Ц2, {^v„})jv +
л=1 7=1 ]фп
+ I аЬх2) ПЛ^г, ^j)f{\>-2, Ц1)«(А„)^(А„, цОПЛ^»’ ^)|Ц1.{^^}>« +
п=1 )фп }фп
N
+ Ц a(kn)g(ln, Ц1)ПЛ^»> Цг) П./*(ц1, ^)|ц2,{Я,^в})„-|-
п=1 1 ]фп
+ Е Z (a(xn)gft„, hi) П Ак, h)a(xk)g(^k, ц2)х
п=Iкфп )фп
х П /(^*, А;)Л^*> iu)lni> Цг> {Ajь})jv• (6.10)
j?=n, к
Мы предполагаем, что все импульсы ць |д2 и {А;} различны. Доказательство равенства (6.9) сводится к тому, что правая часть не должна меняться при замене Ц1<->Ц2. Проверим коэффициенты отдельно при различных структурах. Коэффициент при a(n!)a(n2)| {Ay})jv очевидно симметричен при замене |Д1<->|Д2. (Это первое слагаемое в правой части.) Проверим теперь, что при этой замене коэффициент при a(nx)a(A„)|ц2, {AjV„})n переходит в коэффициент при и(|д2)и(/^)||дь {A^„})iv- Сокращая на общий множитель,
равный (]”[ /(|д2, А;)/(А„, Ау)), приходим к равенству
^(^n,lii)/(li2, A„)+g(A„, \i2)g(]x2, И1)=Лц2, Hi)g(A„, Hi). (6.11)
Элементарные вычисления показывают, что это соотношение является тождеством в обоих случаях (1.4), (1.5). Проверим теперь, что коэффициент при а(А„)а(А*)|ць ц2, {AjVt „})N не меняется при замене Hi<->H2- Это сводится к тождеству
g(Аи, Hi)g(A*, Цг)Л^ь »i)AK, А*)+г(Аь Hi)g(A„,Цг)/(АИ, Hi)x
х/(Ak, A„) = g(A„, n2)g(Ab Hi)/(Ab ц2)/(А^, A*) +
+g(K, R2)g(A„, Hi)/(A„, ц2)/(Аь A„). (6.12)
114
ГЛ VI АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНЗАТЦ БЕТЕ
Таким образом, мы доказали, что обе части (6.9) действуют на базисный вектор (6.4) одинаково. Сначала мы предполагали, что в наборе (|дь ц2, нет совпадающих импульсов, теперь мы можем продолжить равенство
[Л(А., ц)Г(А.)®Г(ц)-Г(ц)®Г(А.)Л(А., ц)]|А.ь ..., ?iN>N = 0 (6.13)
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed