Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
вакуумными собственными значениями. Для целого ряда содержательных моделей такой вектор существует (см. примеры § 3).
Отметим, что при построении псевдовакуума полезным является следующее замечание. Пусть матрица монодромии является матричным произведением двух сомножителей:
Г(А,)=Г(2|А,) Г(Щ) (1.7)
и при этом каждая из матриц 3"(l | X), Г(2|А.) сплетается (1.2)
Л-матрицей (1.3), а между собой их матричные элементы коммутируют (как операторы в квантовом пространстве): [ГвЬ(11 А.), TCd (21 ц)] = 0. Будем говорить в таком случае, что Т(Х) состоит из двух «коммутирующих» сомножителей. Пусть вектор |0\ является псевдовакуумом для 3"(11X), а вектор |0>2—для Т(2 | ^). Соответствующие вакуумные собственные значения обозначим аг (A.), (А.) и а2 (А,),
d2(X). Тогда существует и псевдовакуум |0>, для матрицы Т(Х), причем
|0> = |0>2®|0>1, а(Х) = а1 (X) а2(Х), d(X) = d1(X)d2(X). (1.8)
Для доказательства достаточно заметить, что произведение треугольных матриц является тоже треугольной матрицей. Это замечание приводит к тому, что вакуумные собственные значения а (А.) и d(X) матрицы монодромии строятся по вакуумным собственным значениям составляющих L-операторов (V.1.1) по следующей формуле: м м
d(x)= П dA4 (1-9)
j=i j=i
Здесь aj(X) и dj(X) — вакуумные собственные значения L-оператора L(j\X).
§ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНЗАТЦ БЕТЕ
90
Ниже мы увидим, что собственные векторы оператора z(fj.) = A (ц) + + /)(ц) строятся в виде
^((^})>=п«(^) ох (1.10)
j=l
причем импульсы Xj удовлетворяют системе уравнений Бете. Построение этих собственных векторов начнем с того, что выпишем все коммутационные соотношения (1.3) между матричными элементами матрицы монодромии в явном виде;
[Я(Я.),Я(ц)] = 0, [С(Х), С(ц)] = 0, - (1.11)
А (ц) 5(А)=/(щ X) В(Х) А (ц)+*(А, ц) Д(ц) А (А.), (1.12)
Д(ц) Д(А)=/(А, ц) Д(А)/>(ц)+*(ц, X) 3(ц) D(X), (1.13)
С(Х) А (ц)=/(ц, Х)А(ц) C(k)+g(X, ц) А (А) С», (1.14)
С(А) ?>(ц)=/(А, ц) D(n) C(A)+g(n, A) D(А) С(ц), (1.15)
[С(A), B(n)] = g(A, n){A(X)D(n)-A(n)D(X)}, (1.16)
А (А) А (ц) = А (ц) A (A), D (A) D (ц) = D (ц) D (А), (1.17)
й(ц)Л(А)=/(ц, А)Л(А)Я(ц)+?(А, ц)Л(ц)й(А), (1.18)
D(n) С (А) =/ (ц, А) С (A) D(n)+g( А, ц) С(ц) ?>(А), (1.19)
Л(А) С(ц)=/(ц, А) С(ц) А (А)+г(А, ц) С(А) А (ц), (1.20)
й(А)Д(ц)=/(щ X)D(n)B(X)+g(X, a)D(X)B(n), (1.21)
[?>(А), Л(ц)]=*(А, ц) {Й(А) С(ц)-Я(ц) С (А)}, (1.22)
|>(А), D(n)]=g(А, ц) {С(А) В(ц)-С(ц) В(А)}, (1.23)
[Й(А), С(ц)]=*(А, ц) {D(А) А (ц) — D(ц) А (А)}. (1.24)
Сначала мы будем использовать только формулы (1.11) — (1.13). С помощью этих формул можно вычислить, как операторы А (ц) и ?>(ц) действуют на состояние B(kj) | 0>:
П B{h)Ю>=л п Bfa)Ю>+ I Л„В(ц) П Я(^)|0>, (1.25)
j=1 j= 1 п= 1 j= 1
jVb
D(n) П й(А,)|0> = Л П *(*•;) Ю> + I Л„в(ц) П B(Xj) |0>. (1.26)
j=l j= 1 п= 1 j=1
Здесь коэффициенты Л, Л равны:
Л = «(и) П /(и, Ы A„ = a(A„)s(A„, ц) п ПК, Ч (1-27)
100
ГЛ. VI. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНЗАТЦ БЕТЕ
A=rf(n) П ПЧ ^ А. = «/(*„) *(ц, К) П f{4 К\ (1-28)
j--1 j= 1
j #»
Воспроизведем рассуждения работ [6.17; 6.19], приводящие к этим формулам.
При пронесении оператора А через оператор В можно воспользоваться лиэд «первой схемой» (первое слагаемое в (1.12)), либо второй (второе слагаемое в (1.12)). Чтобы вычислить коэффициент Л перед первым слагаемым в правой части (1.25), надо все время пользоваться первой схемой. Действительно, если мы хотя бы раз воспользуемся второй схемой, то среди операторов В возникнет В (и), который потом уже не исчезнет (это будет вклад в другое слагаемое в (1.25)). Это замечание приводит нас непосредственно к выражению (1.27) для Л. Для вычисления коэффициентов А„ воспользуемся соотношением (1.11) и представим | У v) в виде
|4\(^})> = B(*J П ад°>- (1-29)
j= 1
Теперь для вычисления Л„ на первом шаге (при пронесении А (ц) через В{Хп)) обязательно нужно воспользоваться второй схемой, иначе В(Хп) останется, а интересующее нас слагаемое В(Хп) не содержит. Итак, после первого шага получим
-*(цД„)Я(ц)Л(Ь.)П В(А.7)|0>. П.30)
j*n
Далее при пронесении А(Хп) через B(Xj) следует пользоваться только первой схемой; иначе возникает сомножитель В(Хп), который должен отсутствовать. Эти замечания приводят к выражению (1.27). Аналогично получаются формулы (1.26), (1.28).
Отметим, что | Ч'д.) является симметричной функцией всех Xj (см. (1.11)), различным наборам Xj соответствуют линейно независимые векторы ITjy). Таким образом, |'FW> является собственной функцией т(jj). лишь если Л„ + Л„--0. Это и есть система уравнений Бете:
г(К) ГТ (f(K, h)!A4 К))= 1. и= Ь 2, ..., N. (1.31)
J=1
j + n
Здесь использовано обозначение
r(h)^a(X)/d(X). (1.32)
Част© бывает удобно переписать систему уравнений Бете в логариф-мичесжом виде:
<ftt = 2кпк, к=\, N. (1.33)
Здеш> пк — набор целых чисел, а cpt дается формулой
ф* = /1пг(^) + ; ? \n[f(Xk, Xj)!f(Xj, А*)]. (1.34)
1=1
j?=k
§ 2. ЗАМЕЧАНИЯ ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКОМ АНЗАТЦЕ БЕТЕ
101
При этом собственное значение 0(ц) трансферматрицы т(ц) на векторе |'PV) (1.10) равно:
%> П /(^)+Ф) П f(h> i1)- (1J5)
j=i j=i
Собственные значения гамильтониана получаются с помощью тождеств следов.
