Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
ауТ*{х,у\Х*)ау = Т{х,у\Х), (3.9)
(3.7)
(3.8)
detr^, j|A.)=l.
(3.10)
ПРИЛОЖЕНИЕ. ТЕНЗОРНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
77
2. Модель Жибера—Шабата—Михайлова. Гамильтониан и скобки Пуассона модели имеют вид:
н= (^я2+^(5*и)2 + у(ехр(и)-|Лехр( —2 u)-^jjdx, (3.11)
я (х) = (1 /у) 8, и (х), {я (х), и (.у)} =3(х-у).
Уравнение движения
(З,2 —д2)и + т2(ехр(и)-ехр( —2и)) = 0 (3.12)
представимо в виде (1.1), причем потенциал V равен
О im exp (м/2 —>.) — im exp (м/2 + /,)
— imexp(u/2 + X) —д,и imexp{ — u—X)
im exp (м/2 —>.) - im exp( — и + /.) 8,u
V{x\X) = \
(3.13)
Классическая r-матрица имеет вид (х = ехр(Х--ц)): 2-и3-и~3
г 11=7
г11 — -И — >-22 _„33 _ v
Г22 — Г33—Г11—Г11——у
4(ч3 —ч-3)’
2 + ч3 + ч~3 4^3"^’
р22_„33_ v
Г33 — Г22— —у
2 (к
,.12_,.31_.. я г 12 _. „ 31 —
^21—^13—7^1--------TJ7, >13 — Г21~У
Х2-Х1
2(и3 —ч_3) 2(и3—и"
13 21 Х + Х
^•31= ^12 = 7x7-1----Г3Т, '•12^^31= -7;
- 2
2(и3 —и-3)’ 12 31 2(ч3—ч-3)’
,2
г!1 = 7-5—v5, rIl=Y-r^3- (ЗЛ4>
ПРИЛОЖЕНИЕ. Тензорные обозначения
Мы используем следующие обозначения. Тензорное произведение двух Кх А^-матриц А и В (матрицу Л&В размерности К2 х К2) определим обычным образом:
(А®В)& = А^ВЫ (i,j,k, /=1,-.,/<). (П.1)
Матричные элементы К2 х А^2-матриц нумеруем блочными индексами г,у' (/— номер блок-строки, /—номер блок-столбца) и внутренними индексами *, / м? «ррвщ /---wawef? столбца блока). Для примера
выпишем, как выглядит некая матрица R размерности 4x4, действующая
78
ГЛ. IV. КЛАССИЧЕСКАЯ г-МАТРИЦА
в тензорном произведении двух пространств 2x2:
R-
Я 11 л и 1? 11 -К 12 1 J?12 1 -К 11
1? 11 Л 21 Р И -К 22 1 1? 12 1 Л 21 р 12 А 22
р 21 К 11 р 21 Л 12 1 J?22 1 -К 11 р 22 Л 12
р 21 Л 21 р 21 Л 22 1 J?22 1 Л 21 р 22 Л 22
(П.2)
В этих обозначениях матричное произведение двух К2 х Af2-матриц R и S записывается так:
= (П.3)
(по повторяющимся индексам подразумевается суммирование). Единичная матрица Е и матрица перестановки П размерностей К2 х К2 имеют вид
Е=1®1, ?й = 8,А„ (п-4)
ПЙ = 8.А„ П 2 = Е. (П.5)
Определим скобки Пуассона тензорного произведения двух матриц А и В, зависящих от динамических переменных, следующим образом:
{Л®В}'А = {АЧ,ВЫ}. (П.6)
Здесь в правой части стоят скобки Пуассона между двумя матричными элементами матриц А и В.
Иногда в литературе используется несколько другая система обозначений тензорных произведений. Она особенно удобна, когда имеется тензорное произведение большого числа векторных пространств. Если имеется тензорное произведение нескольких матриц, то у каждой матрипы ставят нижний индекс, обозначающий номер векторного пространства, в котором она действует. Например, соотношение (2.4)
{Т(Х) <8>3»} = [Щ ® 7», г{Х, ц)] (П.7)
можно переписать так
{ Г, (X), Г2 (ц)} = [Г, (X) Т2 (ц), r12 (X, ц)]. (П.8)
Матрица Т(Х) действует в первом векторном пространстве, матрица Г(ц) — во втором, а матрица г(Х, ц) действует в тензорном произведении этих пространств. Нижние индексы об этом напоминают. Эти обозначения использованы в формуле 62.15) (классическое соотношение Янга — Бакстера).
Заключение
Мы изложили гамильтоновы аспекты классического метода обратной задачи, которые в следующей главе будут использованы для квантования. Наиболее полно этот метод изложен в монографиях [4.5; 4.17; 4.9; 4.18]. Способ вычисления скобок Пуассона, основанный на классической r-матрице, предложен в работах [4.12; 4.21]. Доказательство теоремы 1 дано в работе [4.20], а ее дискретного аналога (теорема 2)—в [4.7]. Решения уравнения (2.15) подробно исследуются в работах [4.1; 4.8]. Упомянем о том, что нелинейное
§ 1. ОБЩАЯ СХЕМА
79
уравнение Шредингера было решено с помощью МОЗР в работах [4.4; 4.5], его г-матрица (2.16) найдена в [4.12], а тождества следов получены в [4.4]. Модель синус-Гордон была решена в работах [4.6; 4.14—4.16; 4.18], r-матрица найдена в [4.13], тождество следов можно найти, например, в [4.17]. Модель Жибера—Шабата — Михайлова была введена в работе [4.19] и решена в [4.3; 4.10], r-матрица вычислена в [4.20]. Следует отметить, что в работе [4.3] были перечислены все интегрируемые уравнения одного взаимодействующего релятивистского скалярного поля в двумерном случае. Это модель синус-Гордон, гиперболическая модель синус-Гордон (которая получается аналитическим продолжением предыдущей) и модель Жибера — Шабата — Михайлова (модель Лиувилля представляет собой предельный случай этой модели [4.2]).
Глава V
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОГО МЕТОДА
ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
В настоящее время квантовый метод обратной задачи (КМОЗ) является развитой областью математической физики. В этой главе изложены и проиллюстрированы на примерах основные положения КМОЗ. В § 1 излагается схема КМОЗ и вводится квантовая ^-матрица. Она позволяет вычислять коммутационные соотношения между матричными элементами матрицы перехода, что необходимо для построения собственных функций гамильтониана в гл. VI. Доказано, что существование /^-матрицы и тождеств следов и в квантовом случае гарантирует существование представления Лакса и наличие бесконечного числа законов сохранения. В § 2 обсуждается уравнение Янга — Бакстера, которому удовлетворяет ^-матрица, а также ряд других важных ее свойств. В § 3 доказаны тождества следов для квантового нелинейного уравнения Шредингера (здесь более естественно использовать для модели нерелятивистского бозе-газа такое название).
