Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Выше предполагалось, что все значения Xj (/ = 1, ..., N) различны. В § 4 будет рассмотрен случай, когда некоторые из Xj совпадают. Оказывается, что при этом уравнения Бете существенно изменяются. В физически интересных случаях удается доказать, что Xj действительно различны, т. е. выполняется «принцип Паули».
§ 2. Замечания об алгебраическом анзатце Бете
В предыдущем параграфе было найдено действие операторов A (jj). D (jj.) и В f (j) на состояние
П B(Xj)\0). (2.1)
/=1
Для вычисления корреляторов важно знать также действие оператора С(ц):
СЫ П B(Xj)\oy =
J = l
* I мп П B(bf)|0>+ I MknB(v) П 0>. (2.2)
11=1 j=i k> n j= 1
JV" ]фк,п
Здесь коэффициенты M равны:
Л#, **<!», П/(*7. ^) +
JV п
+g(Xn, ц) а (Хп) d(v) П f{xp ц)/(Х„, Xj), (2.3)
= **)*(**, \y)f{Xn,Xk)\ П /(^)ЖЛ)} +
1 ]фк,п >
a)f(xk, х,)\ П /{К K)f(K, *Л}. (2.4)
j?=ktn ^
Эти формулы получаются аналогично формулам (1.25) — (1.28). При этом кроме коммутационных соотношений (1.11) — (1.13) (которые уже были использованы) достаточно воспользоваться соотношением
(1.16) и равенством С(А.)|0) = 0.
102
ГЛ VI АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНЗАТЦ БЕТЕ
Рассмотрим вектор состояния <0|, сопряженный к псевдовакууму: <0| = |0> + , <0|0>=1. Будем называть его дуальным псевдовакуумом. Нетрудно установить, что он обладает следующими свойствами:
<0|Я(ц) = 0, <0М(ц) = а(ц)<0|, <0| /)(ц) = ^(ц) <0|. (2.5)
Рассмотрим «сопряженный» к (1.1) вектор
<?*(&})| = <01 П ЭД- (2-6)
J=1
С помощью рассуждений, аналогичных приведенным в § 1, вычислим действие операторов A(\i), Д (ц) и й(|о) на этот вектор:
<0| П С(^)Л(ц) = Л<0| П с(^)+ ? л„<0| С(ц) П С(^), (2.7)
J=1 J=1 n=l
<0| П С(^)Д(ц) = Л<0| П ад+ ? л„<0| С(ц) П С(^), (2 8)
J-1 n=l j-1
J?=n
<0| П С(Х,)й(ц)= ? М„ <0| П С(^)+ ? Мкп <01 С(ц) П ЭД.
J=1 n=l J=1 *>П J=1
j фп (2.9)
Коэффициенты в этих формулах совпадают с коэффициентами в формулах (1.25) — (1.28), (2.2) — (2.4). Отметим, что если выполняются уравнения Бете, то вектор <*?’JV| является собственным для оператора т(ц):
<4>*|т(ц) = 0(ц)<4»*| (2.10)
с прежним собственным значением (1.35).
Покажем теперь, что собственные функции (2.1), (2.6), соответствующие двум разным наборам {X,}, ортогональны:
=<0| П С(^с) П Я(Ь?)Ю>=0 ({^с}*{^}). (2.11)
7=1 к-1
Здесь {)^\—это одно решение уравнений Бете, а {№} ф{к^}—другое. Для доказательства достаточно рассмотреть матричный элемент
<0| П С(Ь‘)т(ц) П ЭД)Ю>. (2.12)
j=l к=1
Оператор т (jj.) мы можем применять к любой из двух разных собственных функций. Пользуясь тем, что собственные значения различаются:
0(ц, {*?})#е(ц, {X*}) ({к*}Ф{^}), (2.13)
легко доказать соотношение (2.11).
§ 3. ПРИМЕРЫ
103
Сделаем последнее замечание. Л-матрица (1.3) коммутирует с матрицей ё®ё, где
s-(«°-)- <2Л4)
Отсюда следует, что если матрица монодромии Т(X) сплетается этой Д-матрицей (1.3), то и матрица
m=Ml>, 8jf>,,) (2.15)
?' ' уе С(>.) s~1D(X)J у
сплетается той же Д-матрицей и имеет тот же псевдовакуум |0>, причем вакуумные собственные значения для Тс равны
а?(Х) = Еа(Х), d?(X) = E~1d(X).
§ 3. Примеры
В этом параграфе мы построим собственные функции ряда важнейших моделей двумерной квантовой теории поля и статистической физики.
1) Модель НШ. Для этой модели псевдовакуумом является фоковский вакуум 10) (\|/ (х) | 0) = 0 Ух). Вакуумные собственные значения (1.6) L-оператора (V.3.14) равны
aj(X)=\-(iXA/2), dj(k)=l+(iXA/2). (3.1)
Воспользуемся формулой (1.9) и формулой
lim(l + (г'Х,Д/2))м = ехр {iXL/2}, L = M А. (3.2)
Перемножая вакуумные собственные значения L-операторов (3.1),
получим для вакуумных собственных значений матрицы монодромии:
а(Х,) = ехр{ — iXL/2), d(X) = exp {iXL/2}. (3.3)
Уравнение Бете (1.31) для этой модели имеет вид
N
exp{iXnL} = П (Xn-Xj + ic)/(Xn-Xj-ic), п=\, ..., N, (3.4)
j=i
что совпадает с формулой (1.2.2). Собственные значения трансферматрицы (1.35) равны:
0(ц, Xj) = exp{ — i\iL/2} [] /(м, Xj) + exp{iiiL/2} f] f(h> I-1)- (3-5)
j=i j=i
Тождества следов (V.3.6) позволяют вычислить собственные значения Н, Р и Q. Для этого в тождествах следов (V.3.6) вместо операторов надо подставить их собственные значения:
In [exp {/ \i.L /2} 0„ (ц, {Xj})] = (ic/ц) {QN + ц"1 (PN - (ic/2) QN) +
+ ^2(EN-icPN-(c2/3)QN) + 0(a-3)}. (3.6)
104
ГЛ. VI. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНЗАТЦ БЕТЕ
При ц->г оо цервое слагаемое в (3.5) превалирует. Это приводит к следующим формулам для собственных значений:
Эти формулы совпадают с (1.1.29). Таким образом, воспроизводятся результаты гл. I с помощью квантового метода обратной задачи. Разлагая левую часть (3.6) дальше в ряд по ц-1, можно получить собственные значения высших локальных законов сохранения. Их можно скомбинировать так, что собственным значением я-го закона сохранения будет
Здесь п пробегает все целые положительные значения. Ясно, что наличие таких законов сохранения делает невозможным множественное рождение частиц.
2) Рассмотрим теперь XXX магнетик (V.5.15). Матрица монодромии Т(Х) строится с помощью L-оператора (V.5.11) стандартным образом и имеет вид (1.1); /^-матрица та же (1.3), (1.4), что и для модели НШ. Отметим, что, в данном случае имеется два псевдовакуума
