Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, что и в квантовом случае из существования ^-матрицы следует, что для исходного уравнения существует представление нулевой кривизны. Построим сначала производящий функционал U(n\X, ц) операторов эволюции во времени. Конструкция аналогична классическому случаю (см. (IV.2.19)—(IV.2.20)).
Теорема 2. Имеет место представление Лакса
i[(d/d\.i)lnx(n), JL(«|X.)]= 1|Х., ц) JL(«|X.) — Z.(«|X.) ц). (1.15)
Производящий функционал операторов эволюции во времени U(«| X., ц) равен
U(n\X, ц) = /(djd\i) 1 п т(ц)/ — ~1 (л|A., \i)(d/d[i)q(n\X, ц). (1-16)
Здесь q(n\X, ц) — матрица КхК:
q2(n\X, n) = tri(Г^М, n/ii)Rl2(^,X)T1(n-l, 1/ц)). (1.17)
Индексы означают номера векторных пространств.
Доказательство. Коммутационные соотношения между L(и|X.) и q{n\X, ц) легко получить из (1.4), (1.6):
q(n-\-\\X, \>)L{n\ty = L(n\X)q{n\X, ц). (1-18)
В этой формуле величины q и L перемножаются как матрицы. Продифференцировав это соотношение по ц и умножив слева на ^ “1 («-t-1 |Х, ц), найдем:
q~1(n + 1|Х, V.)(d/dn)q(n+ 1|Х., ц)Z.(и|X) =
= q~1 (п-{-\\Х, \i)L(n\X)(dld\i)q[n\X, ц). (1.19)
Для того чтобы преобразовать правую часть, перепишем коммутационные соотношения между q и L в виде
q-^n+ЦХ, ц)JL(«JX) = ^(«[Х)^-1 («|Х, ц) (1.20)
и получим
^_ 1 (« +11X, \i)(dld\i)q{n+\\X, \i)L(n\X) =
= L{n\K)q~1{n\X, \i){djd\i)q{n\X, ц). (1-21)
Отсюда следует соотношение (1.15). Теорема доказана.
Отметим, что с помощью тождеств следов левую часть (1.15) можно заменить на д, L(n\X) = i\_H, L(n|X)]. При этом оператор эволюции во времени U{n\X) для гамильтониана Н будет равен линейной комбинации производных U{n\X, ц) в точках n = va. Пусть тождества следов имеют вид (1.14). Для модели с этим гамильтонианом имеет место представление нулевой кривизны:
dtL{n\X) = i[H,L{n\X)\=U{n+\\X)L{n\X)-L{n\X)U{n\X), (1.22)
§ 2. СООТНОШЕНИЯ ЯНГА — БАКСТЕРА
83
причем оператор эволюции строится из производящего функционала по следующей формуле:
. I/W = HCta-5rij?/(/.|^n) (1.23)
k а ц ‘
Построенный оператор эволюции во времени имеет правильный квазиклассический предел, а для гамильтонианов с локальным взаимодействием он также локален. Для моделей ,НШ и XYZ магнетика Гейзенберга оператор эволюции U(n\X), построенный по формулам
(1.15), (1.23), (1.22), совпадает с оператором эволюции, известным ранее в литературе [5.21; 5.22; 5.40].
§ 2. Соотношения Янга—Бакстера
Совместность соотношений (1.6), как и в классическом случае (см. (IV.2.15)), накладывает ограничение на саму ^-матрицу.
Чтобы выявить эти ограничения заметим, что прямое произведение трех матриц монодромии Г(А) ® Г(ц) ® T(v) можно привести к виду T(v) ® Г(|х) ® Т('к) двумя различными • способами, используя соотношение (1.6):
Г(Ь) ® Г(ц) ® Г(у) = (/Г1 (X, ц) ® 7)(7® R-1 (X, v))(/T1 (щ v) ® 7) х х (Г(v) ® Г(ц) ® Щ) (R (ц, v) ® 7) (7® R (X, v)) (R (X, ц) ® 7) =
= (7 ® R -1 (ц, v)(Д- ¦1 (A, v) ® 7) (7 ® R ~1 (X, ц)) (7'(v) ® Г(ц) ® Т(Х)) х
х(7® R(X, lty{R{X, v)® 7)(7® Д(ц, v)). (2.1)
Достаточным условием для выполнения этого равенства являются знаменитые соотношения Янга—Бакстера [5.42; 5.28]
(7® R(X, ц)){R(X, v) ® 7)(7® R(ц, v)) =
= (R(ц, v) ® 7)(7® R(X, v))(R(X, ц) ® 7). (2.2)
Соотношение Янга — Бакстера широко используется не только в КМОЗ, но и в теории факторизованных S-матриц. Ниже мы увидим, что просматривается интересная аналогия между КМОЗ и теорией представления групп [5.8; 5.10]. При этом задание
Л-матрицы аналогично заданию группы, соотношение Янга — Бакстера аналогично тождеству Якоби на структурные константы группы. Задача перечисления всех Л-матриц аналогична задаче перечисления всех групп Ли. Задание матрицы монодромии Т(Х), сплетающейся данной ^-матрицей (1.8), аналогично заданию представления (вообще говоря, приводимого) данной группы. Задача перечисления всех матриц монодромии при фиксированной ^-матрице аналогична задаче перечисления всех представлений данной группы. Эта задача будет решена в § VI.6. L-оператор аналогичен неприводимому представлению. Задача перечисления всех L-операторов, удовлетворяющих соотношению (1.4) для фиксированной ^-матрицы, аналогична задаче перечисления всех неприводимых представлений данной группы. Эта
84
ГЛ. V. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
задача будет решена в § VII.4. Матрица Т(Х) (произвольное представление) порождается L-операторами (неприводимым представлением) по формуле (1.1).
Простейшим примером Л-матрицы является рациональная ^-матрица:
Л(Ь,ц) = /Й?+(ц-Х)П. (2.3)
Это матрица размерности К2 х К2. Нетривиальный пример /^-матрицы приведен в § 4.
Сделаем несколько замечаний по поводу свойств /^-матрицы. Обычно спектральный параметр является комплексным числом, причем его удается выбрать так, что ^-матрица зависит от разности:
Я(А,ц) = Я(А-ц). (2.4)
Это позволяет сдвигать спектральный параметр L-оператора. Если какой-нибудь L-оператор Ь(Х) удовлетворяет билинейному соотношению (1.4), то и L(X — v) удовлетворяет тому же соотношению:
^(A-n)(L(>,-v)®L(n-v)) = (L(n-v)®L(A.-v)) R(X, ц). (2.5)
Здесь v—произвольная константа.
Из (1.6) следует, что /?-матрица определена с точностью до умножения на произвольную комплексную функцию. Ее можно выбрать так, чтобы выполнялось соотношение
