Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.М. -> "Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи" -> 27

Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.

Боголюбов Н.М., Изергин А.Г., Коретин В.Е. Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи — М.: Наука, 1992. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): korrelyacionniefunkciiintegriruemihsistem1992.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 84 >> Следующая

В § 4 общая схема КМОЗ применяется к квантовым уравнениям синус-Гордон и Жибера—Шабата—Михайлова. В § 5 обсуждаются спиновые модели квантовой статистической физики. Показано, что с помощью любой данной /^-матрицы можно построить фундаментальную спиновую модель. В § 6 устанавливается связь моделей классической статистической физики на двумерной решетке с КМОЗ.
§ 1. Общая схема
В основе КМОЗ также лежит представление нулевой кривизны (IV.1.1), (IV.1.3) исходного нелинейного уравнения. Гамильтониан Н и матричные элементы матриц Ь(п\Х) и U(п\Х) являются теперь квантовыми операторами, зависящими от динамических переменных
80
ГЛ. V ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
системы. Для релятивистских систем из-за ультрафиолетовых расходимостей необходима регуляризация. Поэтому мы будем рассматривать в основном решеточную формулировку, где обратный шаг решетки А-1 имеет смысл ультрафиолетового обрезания. Непрерывные модели также можно непосредственно рассматривать в рамках КМОЗ (см. § 3, где рассмотрено квантовое непрерывное уравнение Шредингера).
Как и в классическом счучае, важную роль играет матрица перехода Т:
Т(п, m | }) — L(n | A.) L(n— 11 А.)... L{m \ А.) (п^т). (1.1)
Это определение совпадает с (IV. 1.8), но матричные элементы матриц Т и L теперь являются квантовыми операторами и, вообще говоря, не коммутируют друг с другом. Матрица монодромии Т(1) — это матрица перехода через все узлы решетки:
Т(М. \\^Т{Х). (1.2)
Важною роль шрает трансферматрица т (X):
x(X) = trT(X). (1.3)
С помощью монодромии в гл. VI будут построены собственные функции квантового гамильтониана. Поэтому важно выяснить коммутационные соотношения между всеми ее матричными элементами. Этот вопрос решается в КМОЗ с помощью метода Л-магрицы, который работает в том случае, если коммутационные соотношения между элементами L (к | X) удается представить в виде
R(X, \i){L(k\X)® L (к | ц)) L(k\X)) R (),, ц), (1.4)
и матричные элементы L-опсраторов в различных узлах решетки коммутируют:
[Ltj(p\X), L*,(giu)]-=0 при p^q. (1.5)
При таких условиях можно доказать следующую теорему.
Теорема 1. Коммутационные соотношения между матричными элементами матрицы перехода записываются в виде
R(X, ц)(Г(и, т\Х)®Т(п, т\ ц)) = (Г(и, т\ ц) ® Т(п, m | А.)) Я (А, ц). (1.6)
Здесь R(X, ц) — числовая матрица размерности К2 у К2, зависящая лишь от спектральных параметров X и ц.
Доказательство легко провести по индукции. Соотношение
(1.4) составляет базу индукции. В соотношении (1.6) зафиксируем т и предположим, что это соотношение выполнено для п = к. В этих предположениях докажем, что (1.6) выполнено при п = к+1. Преобразуем выражение
R(a, ц)(Г(/г+ 1, т\Ц ® Т(к+ 1, ?и|ц)) =
= R(X, n)(L(&+ 11 A.) ®L(&+11 ц)) Я-1 (А, ц)Д(А, ц)х
х(Т(к, m\X)®T(k, m|ц))R-1 (А, ц)R(X, ц) =
§ 1. ОБЩАЯ СХЕМА
81
= (L (к + 1| ц) ® L (Л: +11 Х))(Т(к, /и|ц)® Т(к, m | X)) R (X, |х) =
=(Г(А:+1, m\\i)®T(k+\, т|А.)Л(А., ц) (1.7)
Сравнивая первое и последнее выражения в этой цепочке равенств, видим, что теорема 1 доказана.
Будем называть соотношения (1.4), (1.6) билинейными. Соотношение (1.4) означает, что L-оператор «сплетается» Л-матрицей. Матрица монодромии сплетается той же Л-матрицей (1.6).
Отметим, что иногда бывает удобно переписать билинейное соотношение в других обозначениях. Для этого умножим соотношение
(1.6) слева на матрицу перестановки П (IV.2.1), получим:
R(X, \1)(Т(Х)®1)(1®Т(^)) = (1®Щ)(Т(Х)®1)Й{Х, ц), (1.8)
где
R(X, ц) = ПЛ(Х, ц). (1.9)
Здесь К х К-матрица Т(X) (1.2) действует только в первом векторном пространстве, а матрица 7\ц)— только во втором. Поэтому соотношение (1.8) можно переписать так:
R! 2 (X, ц) Т[ (X) Т2 (ц) = Тг (ц) Ту (X) R (X, ц). (1.10)
Здесь нижний индекс матрицы означает номер векторного пространства, в котором она действует. Матрица R действует в тензорном произведении векторных пространств 1 и 2.
При построении решеточных моделей приходится рассматривать тензорное произведение большого количества пространств. В этом случае соотношение (1.10) перепишем так:
К»(Х, ц)Гл(Х)Гр(ц)=Г^1)Гл(Х)?(Х, ц). (1.11)
Здесь а, (3 (а^|3) — номера векторных пространств.
Следствием соотношения (1.8) является то, что трансферматрицы коммутируют при различных значениях спектрального параметра:
[т(Х),т(ц)] = 0. (1.12)
Легче всего это увидеть следующим образом. Соотношение (1.6) перепишем для матриц монодромии в виде
R(X, ii)(T(X)®T(v))R-i(X,ii)=T(ii)®T(X). (1.13)
Возьмем след этого равенства в тензорном произведении двух векторных пространств (т. е. как матриц К2хК2); получим т (А.) т (ц) = т (ц) т (X). Здесь воспользовались тем, что след тензорного произведения двух матриц равен произведению их следов.
И в квантовом случае гамильтониан является линейной комбинацией логарифмических производных трансферматрицы т(Х) (1.3) в некоторых точках \а:
82
ГЛ. V ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Такие формулы называются тождествами следов, примеры приведены в § 3, 5. Так же, как и в классическом случае из (1.12) следует, что в пределе М-юэ имеется бесконечно много законов сохранения. Действительно, с помощью (1.14) можно переписать (1.12) в виде [//, т(ц)] = 0. Разлагая это соотношение в ряд по ц, получаем законы сохранения.
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 84 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed