Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Заключение
Мы изложили основные положения квантового метода обратной задачи [5.33]. Интересующемуся читателю мы рекомендуем следующие обзоры: [5.25; 5.7; 5.18; 5.39].
Теорема 1 была доказана в работе [5.33], а теорема 2 — в [5.6].
По-видимому, впервые соотношение Янга — Бакстера [5.42; 5.28] было приведено в работе [5.32], а в форме (2.2) записано в [5.36]. Поиску решений этого уравнения посвящена обширная литература [5.18; 5.38; 5.26; 5.Э0; 5.43; 5.44; 5.1; 5.11; 5.27; 5.31].
Модель НШ была первой моделью, к которой был применен квантовый метод обратной задачи [5.21; 5.22]. Сравнение классических и квантовых результатов было проведено в работе [5.14], а в работе
[5.23] было показано, что представление Лакса выполняется и в квантовом случае. Тождества следов получены в [5.9]. Рассмотрены и решены варианты модели с фермиевским полем [5.13], а также с полем, имеющим несколько компонент.
Модель синус-Гордон была погружена в рамки КМОЗ в работе
[5.24]. Квантовый L-оператор и Л-матрица модели Жибера — Шабата— Михайлова были построены в работе [5.36].
Заметим, что число квантовополевых моделей, решаемых с помощью КМОЗ, отнюдь не исчерпывается рассмотренными примерами. Мы не приводим большего их числа из-за недостатка места, отсылая читателя к литературе [5.16; 5.35; 5.17; 5.34; 5.19].
Фундаментальные спиновые модели рассмотрены в работах [5.25, 5.28]; в этих же работах вскрыта связь между Л-матрицами и точно решаемыми моделями классической статистической физики на двумерной решетке (см. также [5.12]). Интересный спиновый гамильтониан порождается /^-матрицей (4.8) модели Жибера — Шабата— Михайлова. Этот гамильтониан описывает взаимодействие спинов во внешнем магнитном поле, его явный вид дан в работе [5.36]. Впоследствии эта модель была решена в работах [5.2; 5.19], она связана с моделью классической статфизики на сотовой решетке [5.29].
КМОЗ связан с методом факторизованных S-матриц [5.4; 5.5; 5.26; 5.30; 5.43; 5.44].
Построению и решению фундаментальных спиновых моделей с высшим спином посвящены работы [5.15; 5.37; 5.41].
§ 1 АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНЗАТЦ БЕТЕ
97
Глава VI
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНЗАТЦ БЕТЕ
Создание схемы алгебраического анзатца Бете [6.17; 6.19], являющегося далеко идущим обобщением метода Бете решения одномерных систем (см. часть I), является одним из самых важных достижений в КМОЗ. В настоящей главе последовательно развивается эта схема. В § 1 изложены основы алгебраического анзатца Бете. Коммутационные соотношения матричных элементов матрицы монодромии задаются .R-матрицей. Использование их явного вида позволяет построить собственные функции следа матрицы монодромии—трансферматрицы и тем самым гамильтониана системы (который выражается через трансферматрицу при помощи тождеств следов). В § 2 проводится дальнейшее исследование структуры алгебраического анзатца Бете, необходимое для вычисления корреляционных функции. В § 3 общая схема иллюстрируется на примерах. Подробно рассматривается модель НШ, а также модель синус-Гордон и спиновые модели. В § 4 доказан принцип Паули для взаимодействующих одномерных бозонов, который играет важную роль при построении основного состояния системы (заполнение моря Дирака). В § 5 вычислены собственные значения оператора сдвига, действующего на матрицу монодромии; эти результаты будут использованы в часш III при вычислении корреляторов. В §§6, 7 производится классификация матриц монодромии, обладающих данной /^-матрицей; показано, что они параметризуются двумя произвольными функциями. В § 8 вводится важное понятие детерминанта матрицы монодромии в квантовом случае. В § 9 подробно исследуются свойства статс>ммы ZN, введенной в § V.6. В § 10 эта статсумма вычислена в явном виде.
Заметим, что в этой главе рассмотрены модели, обладающие Л-матрицами XXX и XXZ моделей (V.3.17), (V.3.18) и (V.4.3), (V.4.4).
§ 1. Алгебраический анзатц Бете
Здесь будут рассмотрены модели, связанные с простейшими .R-матрицами XXX и XXZ моделей (V.3.17) и (V.4.3). Матрица монодромии имеет в этом случае размерность 2x2:
Коммутационные соотношения матричных элементов задаются соотношением
(1.1)
ЦК ц)(Г(Х)®Г(ц)) = (Г(ц)®Г(Х))Л(Х, и). .R-матрица имеет вид
(1.2)
(1.3)
98
ГЛ. VI. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНЗАТЦ БЕТЕ
причем функции f g в XXX случае даются как
/(цД)=1+гс(ц-А.)-1, ^(ц, А.)=гс(ц-А.)~\ (1.4)
а в XXZ случае (нам удобно перейти от константы связи к константе связи г|=—у/2 в (V.4.3), (V.4.4)):
w лч sh(n—А.Ч-2/л) / / sin 2ri
/(|1’ х)="мПГ; *(|'- 0 5)
Тождества следов (см. §§ V.3, 5) и коммутативность трансферматрицы (V. 1.12) показывают, что собственные функции гамильтониана те же, что у трансферматрицы т (X). Для построения собственных функций оператора т(А.) необходимо, чтобы существовал порождающий вектор— псевдовакуум |0>, который определяется следующими требованиями. Во-первых, он должен обращаться в нуль при действии оператора С(Х); во-вторых, должен быть собственным вектором операторов А (X) и D (А.):
С(*,)|0> = 0, А (А.) 10> = а (А.) 10>, Z»(A.)|0> = </(X)|0>. (1.6)
Здесь а (А.) и — комплекснозначные функции; будем называть их
