Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Требование сохранения Д-матрицы при перенесении на решетку является важнейшим отличием решеточных моделей, построенных в настоящей главе, от других интегрируемых решеточных моделей теории поля. Отметим также, что решеточные модели, построенные ниже, формулируются в терминах исходных бозе-полей.
В §§ 1, 2 строятся классические решеточные модели. Предъявляется явный вид L-операторов на решетке. Конструируются локальные гамильтонианы на решетке с помощью тождеств следов. Конструкция опирается на следующий факт. При некотором значении спектрального параметра L-оператор превращается в одномерный проектор. Это общий способ построения локальных гамильтонианов на решетке.
В § 1 строится нелинейное уравнение Шредингера на решетке, а в § 2—уравнение синус-Гордон.
124
ГЛ VII. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ КТП НА РЕШЕТКЕ
В § 3 строится дискретная квантовая модель НШ. Обслуждается связь L-оператора с бесконечномерными представлениями алгебры su(2). Удается построить локальный гамильтониан на решетке, используя (как и в классике) вырождение L-оператора при специальном значении спектрального параметра. Этот гамильтониан является элементарной функцией локальных бозе-полей.
В § 4 рассмотрен L-оператор квантовой дискретной модели НШ, он зависит от непрерывного параметра А. При специальных значениях этого параметра он превращается в L-оператор XXX модели Гей-зенберга с любым спином и является наиболее общим для Л-матрицы XXX модели.
В § 5 строится дискретная квантовая модель синус-Гордон. Построенные модели удовлетворяют всем требованиям, предъявляемым к доопределению квантовой теории поля.
§ 1. Классические модели теории поля на решетке
Сначала рассмотрим модель НШ, ее непрерывный вариант обсуждался в § IV. 1. Решеточная модель описывает взаимодействие бозонных полей \|/„ , \|/^ в узлах решетки (и—номер узла), со скобками Пуассона {\|/„, \|/™ } = г'5„т/А. Построение начнем с L-оператора:
Величины р * являются функциями только от произведения полей \)/л+ \)/„ и удовлетворяют следующему соотношению:
Этот L-оператор сплетается той же самой классической г-матрявей (IV.2.11), (IV.2.16), что я непрерывный L-виератсф, причем бшшнейвое соотношение (IV.2.11) выполняем» точно. В этом легко убедится непосредственным вычислением.
Распорядимся произволом, связанным <с функциями р*. В настоящем и следующем параграфах яам будет удобно зафиксировать функции р * так:
При этом L-оператор (1.1) отличается от шфинитезималыгого (IV.1.19) лишь во втором порядке по А при А-*®. Свойства симметрии этого L-оператора те же, что в непрерывном случае:
/ iXA с А2
1—^ + ^
ФиЧ* -/х/сАф„+ р„+ iXA сА2
1
(1.1)
i\fcAp„ \|/„
+ - , с&2 , + , р„ р„ =1+—
4
<1.2)
(1.3)
gxL*(X*)ox = L(X),
detL(«/X) = ^-(X — v)(X — v*), v= —
2i A
(1.4)
(1.5)
§ 1 КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕОРИИ ПОЛЯ НА РЕШЕТКЕ
125
Таким образом, мы построили решеточный /.-оператор модели НШ. Матрица монодромии строится стандартным образом (IV. 1.8) и обладает прежними симметриями, <зхТ* (Х*)ах = Т(Х) и det 7'=detM L (см. (IV. 1.18), (IV. 1.17)). Заметим, что в § 4 будет удобно определить функции р * по-другому:
Вернемся теперь к прежнему выбору р* (1.3) и построим локальные гамильтонианы с помощью тождеств следов. Сначала дадим определение локальности. Рассмотрим гамильтониан Н решеточной модели, представимый в виде:
Пусть плотность гамильтониана Нп зависит от динамических переменных i|ij, \|// в некоторой окрестности и-го узла n — + Если
в пределе М-> оо (интересном для физических приложений) сумма т + 1 остается ограниченной + то гамильтониан называется
локальным, описывающим взаимодействие (г +1) соседей (для г следует взять наименьшее возможное значение).
Гамильтониан модели НШ на решетке будем строить как линейную комбинацию логарифмических производных от x(A) = tr Т(Х) = А (Х) + + D (А). Локальность достигается с помощью следующего приема. Заметим, что в точках Х = v, v* величины det L(n | A) —det Т(А) = 0, а сами матрицы L {п | X) и Т (А) пропорциональны одномерным проекторам:
Здесь компоненты вектора а равны (а — двухкомяенснтный вектор)
При X = v* L-оператор также обращается в одномерный проектор:
Следствием этого является факторизация следа матрицы монодромии (см. (IV.1.9)) при X = v, v*:
Круглые скобки означают скалярное произведение двух одномерных векторов:
(1.6)
м
Н= I Я„.
(1.7)
П = 1
Llk (п\ v) = a,(n)a?(«).
(1.8)
(1.9)
Llk (п | v*) = (стха * (п)), (стха (п ))к.
(1.10)
м
T(^)= П Хп1 т„ = (а*(и+1)а(и)), а (М+ 1) = а (1).
(1.11)
(a*a) = aia! +а2а2.
(1.12)
126
ГЛ. VII. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ КТП НА РЕШЕТКЕ
Таким образом, закон сохранения
м
lnx(v)= ? 1пт„
(1.13)
является локальным и описывает взаимодействие двух ближайших соседей. Логарифмические производные dm In z(X)/dXm в точке v также дают локальные законы сохранения [7.7]. Первая производная имеет вид
ёХ
In т (X)
_ (Д у (а*(я +1) <т2а(я-1)) x=v 2 (а*(я+1)а(я))(а*(я)а(я-1))'
(1.14)
В качестве решеточного гамильтониана возьмем, например, следующее локальное выражение:
Н= —
8г 8 ЗсД*~дХ
