Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
Z* | ic
= -*cn(^-v*-f)f[^.-v«-f)zw-1({^p}, (9.11)
кФ1 ot#p
Доказательство. Так как ZN — симметричная функция всех и Vj, то достаточно доказать формулу в случае Р = /= 1. Рассмотрим представление (V.6.5). Оператор L,, стоит в произведении крайним справа. При A-i = Vi — /с/2 он превращается в перестановку:
Lll(vl-l1=ic/2) = —/сПц (9.12)
и следующим образом действует на произведение векторов, стоящих справа:
{д (r)^ j | д a)-}—«(a)i {д (гь д a>-)- (9-1з>
Вектор в правой части является собственным для операторов Lu(Xj — vi) (/ = 2, ..., N) (см. (9.5)). Он также является собственным для операторов — Vi) (a = 2, ..., N) (см. (9.6)). После применения
этих L-операторов к вектору (9.13) получаем
Zjv I ic —
= -/с П П {vj#i})- (9-14)
Это доказывает лемму.
ПРИЛОЖЕНИЕ. МАТРИЧНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ КВАНТОВЫХ ОПЕРАТОРОВ 121
Лемма 4. Свойства статсуммы ZN, установленные в леммах X—3, однозначно ее фиксируют.
Доказательство проводим по индукции по N. База индукции:
Если функция Zjv-i известна, то функция ZN однозначно фиксирована. Действительно, ZN — полином степени (N— 1) по переменной XN. Значение этого полинома известно в точках XN = V; (j— 1, ..., N) (9.11), что однозначно его фиксирует. Лемма доказана.
Ниже будет удобно использовать величины GN ({А.®), {Xj)):
Из рекуррентных свойств ZN эти функции легко вычислить явно при небольших N. Например,
§ 10. Выражение для ZN через определитель
Рекуррентные соотношения предыдущего параграфа удается разрешить с помощью определителя матрицы NxN [6.2]:
Аналогичное выражение существует и в тригонометрическом случае. Мы используем это выражение в § VIII.2 для построения главного коэффициента скалярного произведения Кк.
ПРИЛОЖЕНИЕ. Матричная реализация квантовых операторов
Рассмотрим рациональную константу связи в модели СГ:
Здесь Q и Р—целые, Q<P, они предполагаются взаимно простыми. Из соотношения
Z\ = — ic.
(9.15)
(9.16)
Gi = ~ic,
G2 (Xbu XB2\XCU Xc2) = cA + ic3 (Xf + X^-X^-X^)-
-c2 (*.?-*.?) (Af-^)-c2 (9.17)
Здесь матрица JI имеет вид
(10.2)
yln = QIP.
(П.1)
Х = ехр {('Ры/2}, я = ехр {('Pp/4}
(П.2)
(П.З)
122
ГЛ. VI. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНЗАТЦ БЕТЕ
следует, что
(П.4)
Отметим, что в матрицу монодромии модели СГ входят лишь цянв целых степенях. В данной ситуации (ян можно реализовать как матрицы 2Рх2Р:
Jt„t=§a+Q,6 (а, 6=1, ..., 2Р; а+2Р=а).
В выражении для псевдовакуума (3.24) 5-функцию можно заменить на кронекеровский 5-символ
Заключение
При изложении общей схемы алгебраического анзатца Бете (§ 1) мы следовали работам [6.17; 6.19]. Для моделей нерелятивистского бозе-газа и магнетика Гейзенберга воспроизведена система уравнений Бете и спектр собственных значений операторов энергии и импульса над фоковским вакуумом [6.17; 6.18], а тем самым — и результаты глав I, II. Буквальное совпадение (с точностью до общего множителя) формул для собственных функций гамильтониана, полученных в рамках КМОЗ, с полученными в части I координатными волновыми функциями можно доказать, обобщив формулу (5.9) на случай, когда матрица монодромии состоит из произвольного числа «коммутирующих» сомножителей [6.22]. Аналогичным образом показано, что все наблюдаемые величины в квантовых моделях синус-Гордон [6.12] и массивной модели Тирринга совпадают. Отметим, что нормируемый вакуум модели синус-Гордон построен в работах [6.3; 6.20].
Действие оператора С (р.) на бетевский вектор (2.1) исследовался в работах [6.6; 6.23]. Принцип Паули для одномерных взаимодействующих бозонов сформулирован в работах [6.5; 6.21], его физический смысл обсуждался в [6.26].
Алгебраический анзатц Бете позволяет гораздо дальше продвинуться в исследовании интегрируемых моделей. Особенно хочется отметить, что он позволил выяснить структуру матрицы монодромии общего вида, связанной с данной Д-матрицей. Теорема § 6 была доказана в работе [6.6]; в этой же работе показано, что она справедлива и для Д-матрицы XXZ модели.
Понятие квантового детерминанта было введено в работах [6.4; 6.6], оно играет важную роль в КМОЗ и применялось многими авторами. В работах [6.9; 6.13] при выводе квантового уравнения Гельфанда—Левитана существенно использовалась формула (8.8). В работе [6.25] понятие квантового детерминанта обобщено на матрицы большей размерности. В работе [6.24] оно использовалось для процедуры размножения Д-матриц, в работах [6.10; 6.11]—для построения оператора Казимира в квадратичных алгебрах, в работе [6.1 ]—при построении «квантовых» групп.
Хаъ = 5„6ехр {in{a-\)jP},
(П.5)
(П.6)
ГЛ. VII. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ КТП НА РЕШЕТКЕ
123
Рекуррентные свойства статсуммы ZN исследовались в работе [6.23], ее представление в виде детерминанта дано в работе [6.2].
К сожалению, из-за ограниченности объема мы не смогли осветить такие важные вопросы как аналитический анзатц Бете [6.8] и иерархия анзатцев Бете [6.7; 6.16].
Глава VII
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
НА РЕШЕТКЕ
В настоящей главе сформулированы решеточные варианты вполне интегрируемых полевых моделей, классических и квантовых. Рассматривается нелинейное уравнение Шредингера (НШ) и модель синус-Гордон (СГ). КМОЗ позволяет переносить непрерывные модели квантовой теории поля на решетку с сохранением свойства полной интегрируемости. Более того, удается сохранить явный вид Д-матрицы. Для классических моделей это означает сохранение структуры переменных действие-угол. Для квантовых моделей сохранение Д-матрицы означает сохранение 5-матрицы (см. § VI.7); оказывается, что критические индексы, контролирующие степенное убывание корреляторов на бесконечности, также сохраняются. В релятивистских моделях квантовой теории поля такие решеточные модели могут быть использованы для наиболее строгого решения проблемы ультрафиолетовой регуляризации. Много внимания в этой главе уделяется построению локальных гамильтонианов для решеточных моделей квантовой теории поля. Любопытно отметить, что L-операторы решеточных моделей зависят от некоторого дополнительного параметра А (которого нет в Д-матрице). Этот параметр имеет физический смысл шага решетки. Однако L-оператор можно продолжить по А во всю комплексную плоскость. Опираясь на этот факт, можно построить наиболее общий L-оператор, сплетающийся данной Д-матрицей. Это позволяет решить задачу о перечислении всех интегрируемых моделей, связанных с данной Д-матрицей.
