Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
по непрерывности на случай совпадающих импульсов и убедиться, что оно верно всегда.
Таким образом, доказываются коммутационные соотношения (6.2). Очевидно, что соотношения (6.3) также выполнены. Это завершает доказательство теоремы.
§ 7. Несколько замечаний о классификации матриц монодромии
1) Применяя технику предыдущего параграфа, можно доказать следующее равенство-
-И>И)-8И)сИЬИИх+ !)¦(,л)
Слева стоит квадратичная комбинация операторов, а справа— комплекснозначная функция. Применяя обе части этого равенства к произвольному базисному вектору, можно убедиться, что они действуют на него одинаково. В следующем параграфе с помощью соотношения (7.1) будет введено важное понятие определителя матрицы монодромии в квантовом случае.
2) Можно провести отождествление
1^1, ^N>JV= П ?(A.j)|o>- (7.2)
j=i
В силу линейности всех соотношений имеется тривиальный произвол, связанный с умножением Г(ц) на произвольную комплекснозначную функцию. Таким образом, существенно различные Г(ц) параметризуются одной произвольной функцией r(\) = a(\)/d(k). Отметим, что действие операторов А, В, С, D в базисе (7.2) определяется формулами алгебраического анзатца Бете (1.25)—(1.28), (2.2)—(2.4] и зависит только от вакуумных собственных значений а (к) и d(X). Это приводит к теореме единственности.
3) Представляют интерес линейные функционалы в рассматриваемом пространстве. Определим линейный функционал <0| (дуальный псевдовакуум) соотношениями
<0|0> = 1, <0|{^}>„ = 0 {N=1,2,...) (7.3)
Легко доказать, что следующие функционалы дается формулами
<0М(ц) = я(ц)<0|, <0|Я(ц) = ф)<0|, <0|Я(ц) = 0. (7.4)
§ 7 ЗАМЕЧАНИЯ О КЛАССИФИКАЦИИ МАТРИЦ МОНОДРОМИИ
115
Рассмотрим теперь следующие линейные функционалы:
<0|С(Х1)...С(Хи). (7.5)
Будем называть их базисными. Линейные функционалы (7.5) симметрично зависят от всех Х} (см. (1.11)). Действие операторов A (|i), С(ц) и Z)(|i) на базисные функционалы (7.5) легко вычислить с помощью (1.11)—(1-24), результат вычислений совпадает с (2.7)— (2-9).
4) В построенном пространстве введем оператор числа частиц Q. На базисные векторы он действует следующим образом:
<2Ю>=0, е1{Х,}>и = Л|{Х,}>и,
(7.6)
<0|
( П C(X,)WiV<0| П C(Xj); <0|<2 = 0.
\J=1 / 1
Здесь импульсы Х} произвольны. Легко вычислить коммутационные соотношения:
[б,в(Х)] = в(Х); [Q, С(Х)]= -С(Х), [?>, A(X)] = [Q, ?>(Х)] = 0. (7.7)
Кратко их можно записать так:
2\Q, Г(Х)] = [а„ Г(Х)].
В дальнейшем нам понадобится оператор ехр {a Q} (а—произвольная постоянная). Действие этого оператора на базисный вектор дается формулой
ехр {а<2} | {X;}>N = exp{aiV} | {X;}>N. (7.8)
5) Свойства базиса (7.2) аналогичны свойствам базиса (7.5). Это позволяет ввести в пространство эрмитово сопряжение, например, следующим образом. Потребуем выполнения соотношений
В+ (Х*)= ±С(Х); <0|=|0>*, (7.9)
что возможно, если
a*(X*) = d(X). (7.10)
При этом базисы (7.2) и (7.5) связаны эрмитовым сопряжением и, как нетрудно видеть,
А + (Х*) = Л(Х). (7.11)
В этом случае значение линейного функционала на базисном векторе с тем же набором X,
<0|ПС(Х,)ПЯ(Х*)|0> (7.12)
J= 1 fc = 1
является вещественным при вещественных
116
ГЛ. VI. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ АНЗАТЦ БЕТЕ
6) В работе [6.6] показано, что все построения предыдущего параграфа справедливы и для Д-матрицы XXZ модели (1.3), (1-5). В случае XXZ Д-матрицы естественно ограничиться произвольной периодической функцией (см. [6.14]) a(k)jd{~k):
a^k)ld{k) = a^. + in)!d^k + in). (7.13)
Это связано с вопросом о представимости Т(А) в виде произведения L-операторов (см. § VII.4).
Итак, мы проклассифицировали все матрицы монодромии для данной Д-матрицы; ниже (§ VII.4) мы проклассифицируем все ?-операторы для тех же Д-матриц. Связь Т(Х) и L{X) задается формулой (V. 1.1). Нам удастся построить L-оператор, зависящий всего от четырех комплексных параметров (вместо функционального г {"к)). Его матричные элементы будут действовать в весьма узком подпространстве построенного выше фоковского пространства; этот ?-оператор порождает по формуле (V.1.1) матрицу монодромии общего вида. В этой связи следует подчеркнуть еще раз параллель между теорией представлений групп и КМОЗ, упомянутую в § V.2.
7) Обсудим следствия теоремы, доказанной в предыдущем параграфе. Рассмотрим уравнения Бете (1.31)
ЛЧТ\\ЛЧЪ)1/(КЛ})\=1 (7.14)
i=i
Зафиксируем произвольный набор N чисел {Ху}, среди которых нет совпадающих. Зададимся следующим вопросом. Существуют ли модели, для которых этот набор является решением уравнений Бете? Ответ на этот вопрос положительный, таких моделей существует много. Они параметризуются функцией г (к), на которую наложено довольно слабое ограничение — в точках Xj она должна принимать фиксированные значения:
r(h) = П [/(^ь **)] (/= 1, -> Ю- (7-15)
к = 1
Это позволяет нам рассматривать решения уравнений Бете (Xj) как свободные независимые переменные, что существенно используется в части III.
8) В заключение обсудим матрицу рассеяния в случае произвольных функций а (к) и d(k). Рассмотрим уравнения Бете (1.31), (7.14). Множители в правой части f(Xj, Xk)/f(Xk, Xj) имеют смысл затравочной матрицы рассеяния частицы с затравочным импульсом Xj на частице затравочным импульсом Хк. Таким образом, затравочная матрица рассеяния не зависит от произвольных функций а(Х) и d(X), а определяется только Д-матрицей. Одетая фаза рассеяния получается из затравочной с помощью одевающих уравнений, рассмотренных в § 1.4. Ядро этих интегральных уравнений определяется Д-матрицей
