Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи - Боголюбов Н.М.
Скачать (прямая ссылка):
' 1 4 2 2
(3.4)
(3.5)
Этот L-оператор также сплетается /^-матрицей XXX модели (V.3.17). Для того чтобы увидеть, что непрерывный предел матрицы перехода, порожденной этим L-оператором, правильный, достаточно перемножить два L-оператора в соседних узлах и устремить А->0. Получится L-оператор, отличающийся от инфинитезимально1 о (V.3.14) в порядке А2, что обеспечивает правильный предел. Перечислим свойства этого L-оператора. Свойство симметрии (1.4) сохраняется:
oxL*(n\X*)ox = L(n\X).
(3.6)
При отражении спектрального параметра L-оператор преобразуется так:
LT (п \ — X) = axL(n\X)ax.
Легко вычислить квантовый детерминант:
L («| X) оу U (п | X+ ic) ау = (Д/2)2 (X - v ) (X - v ),
v<1")= -
2i
1+(-1 r
cA
v^= —
cA
(3.7)
(3.8)
(3.9)
В точках v4?2 L-оператор, как и в классике, превращается в проектор, т. е. представим в виде (1.8). Однако теперь компоненты вектора
130
ГЛ VII ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ КТП НА РЕШЕТКЕ
ос—это квантовые операторы. Они не коммутируют, и надо различать «прямой» проектор
U = «А (ЗЛО)
и «обратный»
Ьл = 8*у,. (3.11)
Уточним эти формулы. Введем двухкомпонентный вектор а (его компоненты—квантовые операторы). В квантовом случае выражение для а напоминает классическое (1.9); появляется лишь дополнительная зависимость от четности узла. В четных узлах
ai (") =
+
H = 0(mod2), (3.12)
а2 (л) = \/2 /l+^-»|/„+'l'«,
и нечетных
a.1(n)=-i J^M>n
«=l(mod2). (3.13)
а2(«) = У2
Итак, рассмотрим значение спектрального параметра X = v, при
котором квантовый детерминант (3.8) обращается в нуль:
Ъ к
V--J+J. (3.14)
При X = v оператор в нечетных узлах превращается в «прямой»
проектор:
L,k (п | v) = ос, (и) ос ? (и), п = 1 (mod 2). (3.15)
В четных узлах L-оператор превращается в «обратный» проектор:
L,k («I v) = oc*+ (и) ос, (и), « = 0 (mod 2). (3.16)
Рассмотрим теперь точку /. = v*, в которой квантовый детерминант
(3.8) также обращается в нуль:
v*=-v=f-f. (3.17)
При этом L-оператор в нечетных узлах обратится в «обратный»
проектор:
-М«^*) = (ст*а(и)Мст*а+(и))„ n=l(mod2), (3.18)
§ 3. КВАНТОВАЯ МОДЕЛЬ НШ НА РЕШЕТКЕ
131
и в четных узлах превратится в «прямой» проектор:
L&(n\v*) = (a*a+ (и)){(стха(/|))к, n = 0(mod2). (3.19)
Будем считать, что полное число узлов в решетке М четно. Оператор Q (3.3) коммутирует с трансферматрацей:
[т(А.),е] = 0. (3.20)
Первая логарифмическая производная в точке X = v является локальной. Рассмотрим сначала
г м/г -1
x(v) = (a+(M)a(M—1))| J} (а+ (2я)а(2и — 1))х
(а+ (2и+1) а (2и)) > (а+ (1) а(М)). (3.21)
Это выражение позволяет вычислить явный вид логарифмической производной:
м
(3.22)
i А t-л
= ~т I '«•
* Z п= 1
Локальная плотность tn зависит от четности узла; для п нечетных г„ = (а+(и + 2)а(и+1))-1 {(а+ (и)а(и-1))-1 (а+ (и +1) а (и))-1 х х (а+(и+1) стга(и—1))} (а + (и + 2) а (и+1)), n=l(mod2), (3.23)
для п четных
*л = (а+ (и— 1) а (и —2))-1 {(а+ (и+1)а(и))-1 (а+ (n)a(n-l))-1 х
х(а+ (и+1) <х,а(и — 1))} (а+ (и— 1) а (и — 2)), n = 0(mod2). (3.24)
Любопытно сравнить это выражение с классическим случаем
(1.14). Аналогичное выражение для 3 In х(Х)/дХ имеет место в точке
X = v*. Можно доказать, что
(3.25)
(3.26)
8 In т(Х) + <51пт(>.)
дХ X = v_ 8Х
§ 8 In т(Х)
8Х
Р=-
8 In т (X)
8Х
Здесь Р — оператор пространственного отражения.
Гамильтониан квантового решеточного нелинейного уравнения Шредингера определяется аналогично классическому случаю:
132
ГЛ VII ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ КТП НА РЕШЕТКЕ
Здесь Q -°ператор числа частиц (3.3). Величина т0(А,)—это след матрицы монодромии в случае нулевых полей:
Ч'^тГ('-т^Г- **»
Итак, построен локальный гамильтониан, заданный в терминах бозе-полей:
Н— У (+ W А+-^1 У A'l/„+vl/„; (3.29)
4
ЗсА3
(г"+';+Г-_^)^(зЬ'+б)„?1 Л'КЧ";
t„ см в (3.23) - (3.24). Этот гамильтониан является эрмитовым, пространственно четным и обладает правильным непрерывным пределом.
Соотве I с гвуюшая модель является вполне интегрируемой. Фоковс-кий вакуум является псевдовакуумом:
Л(А,)|0> = а(Х)|0>, D(A.)|0> = rf(X)|0>, С(л)|0> = 0,
лч Л с А »Л\М'2' с А ЛЛУ2
, / сА iXA\M<2 { сА iXД\М/2
rfW=^+_+_ j (i-T+-r) -
(3.30)
(3.31)
Уравнения Бете имеют вид
(A iXtA\f с A iX, А
;Г )(1+Т~~Т~
сА (Х,А
"Т+~~2~
< A iXjА
М/2
JV л л
___ тпг Л,; А,^ /С
к= 1
(3.32)
Собственные значения гамильтониана можно трактовать в терминах частиц:
En — X со (К )-
к=- 1
ео (X) — —4
с- 4 4
Т2+зд;~зд1
Х2А2
Л(х)+Ж
(3.33)
/г(А,)=1-^(4Х.2+с2).
Собственное значение оператора импульса равно
с A iXA\ /_ с A iXA''
§ 4 КЛАССИФИКАЦИЯ КВАНТОВЫХ /.-ОПЕРАТОРОВ
133
Итак, мы построили решеточную модель НШ с локальным гамильтонианом. Его отличительной чертой является то, что он представляет собой явную элементарную функцию локальных бозе-полей. Подчеркнем, что идея построения локальных гамильтонианов этого типа — та же, что и в классическом случае (см. § 1). Отметим, что с помощью L-оператора (1.1) можно построить и другие локальные решеточные гамильтонианы с помощью тождеств следов, обобщающих тождества следов для фундаментальных спиновых моделей. Это было сделано в работе [7.17] для решеточной модели НШ и решеточной модели синус-Гордон.
