Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
чтобы найти следующее, первое приближение. Подстановка дает
X | тт Е[1)) б,/,*. -|- (Е,п Е'и) Cili -f* ^ wmn8ltk J -f- О (A,2) — 0, (67.4)
I n '/- III I
где через О (l2) обозначены члены порядка X2 и выше. Ограничиваясь первым приближением, мы должны считать эти члены малыми
§ М\ ВОЗМУЩЕН!IE В ОТСУТСТВИЕ ВЫРОЖДЕНИЯ 281
и отбросить их. Тогда получаем
(wmm-E^)6mlt + (E';n~E4)c:'n+ у; wma6,„,-0. (67.4')
И тр т
Если мы возьмем из этих уравнений уравнение номера ni-=k, то получим
wkk — E{1} = 0. (67.4")
Отсюда находим поправку к Е% первого приближения:
Ew = wkk. (67.5)
Из уравнений с т Ф k находим поправки к амплитудам с,п, именно, если т Ф kу то (67.4') дает
{Е°т — Ek) Cm -f- Wmk = 0. (67.4')
Отсюда
w Ф k. (67.6)
wmk
Bk-E
Найдем теперь второе приближение; для этого следует учесть члены с А2. Подставим первое приближение (67.5) и (67.6) в (67.1), тогда
я21 (Wmm - wkk) -psOpr - ?12>6Я1* + (ЕЧп - Е"к) с% +
L Ьк — Ет
п-4-k
где через О (к3) обозначены члены порядка № и выше. Пренебрегая этими членами, получим уравнение для определения Е"2' и с?п (второе приближение). При этом уравнение номера m--k получается в виде
_ ?42) _j_ у = 0. (67.7')
,4» Ek — E'h
k-j-n
Отсюда находим поправку к энергии во втором приближении:
?(2)= у (67.8)
,4> El-E’k V
к тр. п
Из уравнений с т Ф k найдем с^:
с)1 = — + у wrf°a*----л-г , тфк, Пф к. (67.9)
(Ет—Ек)’ ~f (Ек — Еп){Ек — Ет)
Эту процедуру можно продолжать и дальше, переходя ко все более и более высоким приближениям. Мы ограничимся вторым
282 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. XI
приближением и выпишем результат. Согласно (66.14), (66.15) и (67.3), (67.5), (67.6), (67.8) и (67.9) имеем
Ek=-El + kwkk + V У ^^- + 0(Яз), (67.10)
%Ек-Еп Cfc— 1,
с — X тк - 4-
Lm —д |, о г
Ek — Em
+ Ь%1Утт- У**——-т-^^4-\ + 0(Я3). (67.11)
(Ек — Еп) (Ек-Ещ) (Ет-ЕкУ '
<^1, пфт\ (67.12)
Из этих формул видно, что предположение о малости оператора W в сравнении с Н0 означает малость отпошення
—» 0 pH
-п — ? т
при выполнении этого условия поправочные члены в (67.10) и
(67.11) малы, и собственные значения Ek оператора Н и его собственные функции ст (k) близки к собственным значениям и собственным функциям оператора Н°. Условие (67.12) —это условие применимости теории возмущений. На основании (66.10) это условие может быть записано также в виде
¦, ,'<1, пфт, (67.13)
I I
где Wmn суть матричные элементы оператора возмущения.
Пользуясь (66.4) и (67.6), а также (67.5), мы можем написать наше решение в «^-представлении:'
ф* (х) = ОД (х) + У (*)+..., (67.14)
^ Ek — Em
Ек = El + Wbk + ..., Wuli = ^ tyTWM dx. (67.15)
Из последней формулы видно, что поправка к уровням в первом приближении равна среднему значению энергии возмущения в невозмущенном состоянии (г|$).
Из условия пригодности метода теории возмущения (67.13) непосредственно видно, что успех приближенного расчета зависит от того, какой именно квантовый уровень мы рассчитываем. Так, например, в кулоновском поле разности энергий соседних уров-
ней выражаются формулой
Г? О /ГО 77о 1 \ Н- 2/2 1
ВОЗМУЩЕНИЕ В ОТСУТСТВИЕ ВЫРОЖДЕНИЯ
283
При малых п эта величина может быть гораздо больше W„t„ s Для больших же п она стремится к нулю, как 1/,т\ и условие
(67.13) может оказаться несоблюденным. Поэтому метод теории возмущений может быть пригодным для расчета поправок нижних квантовых уровней и непригодным для расчета поправок для высоких квантовых уровней. Это обстоятельство нельзя не иметь в виду при приложении теории возмущений к конкретным проблемам.
Второе, что следует отметить, — это некоторые особые случаи, когда условие (67.13) соблюдено и тем не менее квантовые состояния систем Н и Н° радикально отличаются. Дело в том, что энергия возмущения W может оказаться такого вида, что существенно изменит асимптотическое поведение потенциальной энергии U (х). Допустим, что к гармоническому осциллятору приложено возмущение W = Ях3. Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид
- Й 5 + 1Г^ • (67.16).
При Я = 0 мы имеем уравнение для гармонического осциллятора, имеющего дискретный спектр энергии ?Д = й(о0^г Матричные элементы возмущения
Wmn = X(x*)mn
при малом Я могут быть как угодно малы в сравнении с ?,°„ —
— En = ft(Oo(m — п). Тем не менее при всяком Я уравнение (67.16) имеет непрерывный спектр, и только при Я = 0 оно имеет дискретный спектр собственных значений. Действительно, потенциальная
энергия U (х) =. Яг3 имеет вид, приведенный на рис. 50.
При всяком значении Е для больших отрицательных л*, U (х)<С.Е, т. е. асимптотическое значение потенциальной энергии меньше Е. Поэтому энергетический спектр должен быть непрерывным.
Спрашивается, какой смысл имеют в этом случае приближенные функции г|)Л (*) и уровни Еп, которые мы можем вычислить из г|^ и E'h методом теории возмущения, пользуясь малостью параметра Я? Оказывается, что при малых Я найденные методом
U
энергии U (х) = + 1х3.
Пупктирная кривая и0 (х) = ¦ - х*.
284
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. XI
теории возмущения функции (х) отличаются тем, что они велики вблизи потенциальной ямы 0 (х) и малы вне ее. На рнс. 51 повторена кривая потенциальной энергии U (х) (см. рис. 50) и, кроме того, нанесен квадрат модуля волновой функции |^(x)|2. Рис. 51, а соответствует случаю, когда энергия Е = Еп^ Е','г. Если же энергия Е не равна Еп, то волновая функция г|^ (х) нарастает вдали от потенциальной ямы U (х) (см. рис. 51, б). В первом случае мы можем сказать, что частицы находятся около положения равновесия дг = 0, так сказать, «в атоме», а во втором случае они находятся преимущественно вне его, бесконечно далеко. Стационарность состояний может получиться лишь в том случае, если
