Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
W(x) = kx* + ... (71.2)
*) Мы можем считать, что спектр возмущенной системы останется все же дискретным, так как Хх3 есть поправочный член и он вообще негоден для больших х. Таким образом, из вида поправки (71.2) не следует делать заключения, что асимптотическое поведение U (х) радикально изменилось, как это п ред-полагалось в § 67, где добавочный член А,*3 формально рассматривался как пригодный и для больших х.
§ 71] АНГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 297
Квантовые уровни невозмущенной системы (л = 0) суть уровни гармонического осциллятора; его собственные значения и функции обозначим через
?°„ = Й(о0 ^ п + г|)«(*)- (71.3)
В данном случае вырождения нет: каждому уровню принадлежит лишь одно состояние \\>п. Матричным элементом энергии возмущения W будет
wmn = 5Щп dx = к (x%n, (71.4)
где через (х3)т/г обозначены матричные элементы для х3.
Согласно формуле (67.10) энергия &-го уровня возмущенной системы во втором приближении равна
?» = ?]? + *, (x\k + Я2 У . (71.5)
Lk — tn
п^к
Таким образом, нам достаточно вычислить матрицу (х3)тп. Эту матрицу мы могли бы непосредственно вычислить из формулы (71.4) с помощью функций tyn (см. (47.11)). Однако мы поступим более просто. Матрица хпт нам известна (см. (48.8)). По правилу умножения матриц мы можем вычислить из матрицы хтп матрицу (Xs) пт. Именно,
(x^)kn “ ^kl (x2)ln ~ %kl (71.6)
/ I m I m
Подставляя сюда значение матричных элементов xkh хш, хтп из
(48.8), получаем
(дгГ22(/1*-.-+
I т
»)(]/"! Ьт-г,п+]/^рКп,п).
(7L.7)
Ввиду наличия б двойной ряд по I и т просто суммируется, и мы получаем
(t + l)»6t>,., + yr(6+ll<t+2)(t+3) (71.8)
Отсюда следует, что (*¦'%* —0, и поэтому поправка к ЕЪ в первом приближении равна пулю. Поправка второго приближения, содержащая сумму по /г, также просто вычисляется, так как из суммы остается, согласно (71.8), только четыре члена: n = k±3, ti = k± 1.
298
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. XII
Кроме того, (х3)/г/г==(х3)/;/,. Поэтому, подставляя (71.8) в (71.5) и принимая во внимание (71.3), находим
Это и есть искомое приближенное выражение для энергии квантовых уровней осциллятора с учетом поправочного ангармонического члена Ах3.
Легко найти условие применимости нашего приближения. Матричный элемент энергии возмущения X (x3)kn для больших квантовых чисел k по порядку величины, согласно (71.8), равен
Разности уровней ЕЪ — Еп^йсо0- Таким образом, условие применимости теории возмущений (67.13) сводится к
Наше приближение применимо, следовательно, для не слишком высоких уровней, именно,
Это условие в переводе на язык классической механики означает, что амплитуда колебания должна быть не слишком большой.
Формула (71.9) находит свое применение для вычисления колебательных уровней молекулы. В § 54, рассматривая двухатомную молекулу, мы ограничились вторым членом разложения потенциальной энергии U (х) по степеням отклонения (х) от положения равновесия и соответственно этому получили для молекулы гармонические колебания. Если бы мы учли и следующий член разложения, что, вообще говоря, приходится делать, то колебательные уровни молекулы определились бы формулой (71.9), а не (71.3).
В электрическом поле спектральные линии атомов, как было обнаружено на опыте, расщепляются (так называемый эффект Штарка). Картина расщепления изображена на рис. 53, где дано расщепление спектральных линий водорода Нр, HY, Нб, Н8,
й = 0, 1, 2, ...
(71.10)
(71.10')
§ 72. Расщепление спектральных линий в электрическом поле
Hs (линии серии Бальмера)1). Опыт показывает, что действие
!) Поле возрастает снизу вверх, максимальное значение равно 1,14 миллиона вольт на см, белые линии —линии постоянного поля. Одновременно сняты невозмущенные (без поля) водородные линии; они изображаются сред-
§ 72] РАСЩЕПЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 299
электрического поля на атом водорода и на другие атомы весьма различно. В водороде расщепление спектральных линий пропорционально первой степени электрического поля $, а во всех остальных атомах оно пропорционально второй степени поля (?2). В сильных полях (порядка 105 в/см) появляется дополнительное расщепление, пропорциональное высшим степеням <?. Кроме того, по мере увеличения поля, как было наблюдено на опыте, спектральные линии уширяются и, наконец, вовсе исчезают. Это последнее явление мы рассмотрим позднее в § 101.
Сейчас мы будем рассматривать поля, меньшие 105 в/см.
Из сравнения величины внутриатомного электрического поля
80 = -;j5- = 5,13- 109 в/см
(а — радиус первой орбиты Бора) с внешним полем (& < 105 в/см) следует, что в широких пределах действие внешнего поля можно рассматривать как возмущение. Этим мы и воспользуемся для нахождения квантовых уровней и волновых функций атомного электрона при наличии внешнего поля &. Обозначим потенциальную энергию оптического электрона в атоме через U (г). Если теперь еще имеется внешнее однородное электрическое поле напряженности то электрон будет иметь некоторую добавочную потенциальную энергию W. Эту энергию легко вычислить.
Возьмем ось OZ за направление электрического поля Ш. Тогда потенциальная энергия электрона в поле будет равна
