Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
*) В случае электрического поля можно достигнуть полей, сравнимых с внутриатомными (ср. § 101).
278
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
[ГЛ. XI
Мы ограничимся пока рассмотрением таких случаев, когда оператор энергии Н обладает дискретным спектром. Пусть данный нам гамильтониан Н равен
H = fi« + W. (66.1)
Добавок W будем рассматривать как малый и будем называть энергией возмущения (или иногда кратко —* возмущением). Далее, мы предполагаем, что собственные значения Еп оператора Н° и его собственные функции фЯ известны, так что
Н°Гп = ЕЖ- (66.2)
Наша задача заключается в нахождении собственных значений Еп оператора Н и его собственных функций. Эта задача, как мы знаем, сводится к решению уравнения Шредингера
#-ф — ?ф. (66.3)
Уравнение (66.3) отличается от уравнения (66.2) одним членом Wty, который мы считаем малым.
Для приближенного решения задачи методом теории возмущений пишут прежде всего уравнение (66.3) в таком представлении, в котором за основную переменную берут собственные значения Е\\ оператора Я0, т. е. уравнение (66.2) берут в «^^-представлении. Если первоначально оператор Н (66.1) и вместе с тем уравнение
(66.3) даны, как это чаще всего и будет, в координатном пред-
ставлении, то нужно от этого представления перейти к «?°»-пред-ставлению. Напомним этот переход. Будем всюду явно писать только одну координату х (в случае надобности под х можно разуметь любое число переменных так же, как и под значком п у волновой функции я|5л можно разуметь ряд квантовых чисел). Пусть в координатном представлении («^-представление) собственные функции оператора Н° будут (*). Разложим искомую функцию 'ф (х) по функциям 'фл(х):
ФМ (х). (66.4)
П
Тогда совокупность всех сп есть не что иное, как функция ур в «?°»-представлении.
Подставляя (66.4) в уравнение (66.3), умножая его на (*) и интегрируя по х, получим
2iHnufin = Ecm, (66.5)
П
где Нтп есть матричный элемент оператора Н в «^-представлении:
Нтп = \№Щ"пс1х. (66.6)
§ 66] ПОСТАНОВКА ВОПРОСА 279
Матрица, образованная из элементов Нтп, есть оператор Н
в «?°»-представленин. Имея в виду (66.1) и (66.2), получаем
Hmn = \W(H° + W)tndx =
= jj №Й°фп dx + 5 wwrn dx = El8mn + Wmn, (66.6')
где Wmn есть матричный элемент энергии возмущения в «/^-представлении:
Wmn = \№W№dx. (66.7)
Матрица, образованная из элементов Wmn, есть оператор W
в этом же представлении. Подставляя (66.6') в (66.5), получим
2 (ЕЖгп + wma) сп = Ест. (66.8)
П
Перенося все члены налево, находим
(E'!n + Wmm — E)cnl+^ Wтпсп = 0, (66.9)
п ф. т
где пит пробегают все значения, которыми нумеруются функции н е в о з м у щ е н п о й системы^.
Пока мы никак не использовали предположение о малости W,
и уравнение (66.9) справедливо точно. Задача теории возмущения
заключается в том, чтобы использовать предположение о малости величин Wmn. Чтобы явно выразить степень малости W, положим
W = Kw, (66.10)
где Я —малый параметр. При Я = 0 оператор Н переходит в Н°.
Тогда уравнение (66.9) запишется в виде
(Ет + км,пт ~ Е) С,„ + А, 2 WmnCn = 0. (66.11)
njbrn
Это уравнение мы будем решать по степеням А,, считая К малой величиной. При из (66.11) получается просто уравнение
(66.2) в «?°»-представлении:
(ЕЧп-Е)сп = 09 (66.12)
имеющее решения
?,п, = ??и, С = 1. (66.13)
При малых значениях Я естественно ожидать, что решения уравнений (66.11) будут близки к решениям уравнений (66.12), т. е. к (66.13). Это предположение мы можем выразить явно,
если представим собственные функции ст уравнения (66.11) и его
280
TLOPIIM ЬОЗМУЩПШП
[ГЛ. XI
собственные значения Е в виде рядов по степеням малого параметра К:
Ст ст "I" hc,n -f* X'Cni “Ь • • • (66.14)
II
Е - Е'0) 4- №1) + %2Е™ + ... (66.15)
При К ” 0 (66.14) и (66.15) переходят в (66.13), причем Е[0) должно равняться Е'!п. Оказывается, что решение уравнений (66.11) существенно зависит от того, вырождены ли состояния системы Я0 пли пет. Сели они вырождены, то каждому собственному значению Еп принадлежит несколько собственных функций если не вырождены,—то только одна функция. Эти два случая мы рассмотрим порознь.
§ 67. Возмущение в отсутствие вырождения
Пусть каждому собственному значению Еп невозмущениого уравнения (66.2) принадлежит лишь одна собственная функция соответственно — одна амплитуда сп. Подставим в уравнение (66.11) ряды (66.14) и (66.15) и соберем члены с одинаковыми степенями параметра к
{Еin — Е(”) сi\\ ~\~ X [(wmrii — Е 1) с,п "Ь (Еш ¦“ Е") сп\ -f* ^ ютпсЦ ] -j-
п -j- т
+ X2 [(wmm — Е 1) с,11 — Е ~ с ih -[-
+ (Ein — L 0) ст -j- wninC/t ] -f- ... =0. (67.1)
n /- tn
Это представление уравнения (66.11) позволяет легко решить его методом последовательных приближений. Мы получим пулевое приближение, если положим тогда получаем
(Elh — В ') c,h --- 0, т = 1, 2, 3, ..., к, ... (67.2)
Это--уравнение для невозмущенной системы Н°. Пусть нас интересует, как меняется уровень Е)1 и собственная функция *ф/1 под действием возмущения W. Тогда из решений (67.2) мы берем k-e:
Е* сЩ = Ьтку (67.3)
т. е. все с;,Т^-0, кроме с‘Ц = 1.
Решение (67.3) мы будем называть решением в нулевом приближении. Это решение мы подставляем в уравнение (67.1) с тем,
