Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
W = e%z = — DjSy (72.1)
ними линиями каждой картины расщепления, которые на рисунке проходят почти прямолинейно. При сравнении штарковских линий, соседних с несмещенными линиями, ясно видно, что линия, лежащая с красной (левой) стороны, всегда удалена от несмещенной линии гораздо дальше, чем соседняя фиолетовая линия (квадратичный эффект Штарка). Это особенно хорошо заметно у линии Нр. Далее видно, что все линии перестают существовать при определенной критической напряженности поля, притом линия Н8 раньше, чем Нб, Нб раньше, чем HY и т. д., красные компоненты каждой линии раньше, чем фиолетовые. Явление исчезновения линий объяснено в § 101.
% HS К? %
Рис. 53. Расщепление спектральных линий бальмеровской серии при больших электрических полях.
300 ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ |ГЛ. XII
где D^=2 — ez есть компонента электрического момента на ось OZ1). Полная потенциальная энергия электрона будет равна
V (r) = U (г) + е$г. (72.2)
Уравнение Шредингера для стационарных состояний будет иметь вид
- ~Щ + [и(г) + еёг]Ц^ЕЦ. (72.3)
Возмущение W относится к случаю, рассмотренному в § 67. Именно, даже как угодно малое поле % меняет асимптотическое поведение потенциальной энергии. Если ? —0, то при
г ->dz со, а если & ^ 0, то t/'->±oo при гсо.’ Поэтому мы можем применить теорию возмущений (при малых Я) лишь в смысле, разъясненном в § 67. Таким образом, применяя теорию возмущений, мы будем находить квантовые значения энергии Е,„ при которых электрон находится вблизи атома достаточно большое время («квазистационарные» состояния). Рассматривая в этом смысле W как возмущение, мы будем считать состояния электрона в атоме в отсутствие внешнего поля известными.
Рассмотрим сначала водородоподобный атом. Энергию квантовых уровней атома в отсутствие поля обозначим через
? = ?й/, OsS/^/г-1, /г=1, 2, 3, (72.4)
а соответствующие волновые функции через
Vnim - Rni (Г) р? (COS 0) -/ < т ^ /. (72.5)
Каждый уровень E°ni вырожден 21 + 1 раз в силу различных возможностей для ориентации орбитального момента М.. Поскольку мы рассматриваем определенный уровень пу /, то мы можем опустить индексы я, /, сохранив лишь т. Тогда для краткости функции, принадлежащие уровню E'hit обозначим через
я|>!./, г|?1/+ь ..., Ц°т, ..., г|>?. (72.6)
Наиболее общая функция, представляющая состояние с энергией Е°П1, будет
Ф= 2 Ст\14. (72.7)
т~—I
Вычислим, каково будет среднее значение проекции электрического момента Dz в таком состоянии. Имеем
Dz = I dv = 2 1] cfnCm’ $1|5т D^n- dv =
m mr
— 2 ChiCm’ (Ds) mm'i (72.8)
m m‘
г) Заряд электрона мы считаем равным —ей начало координат берем в центре атома.
§ 72] РАСЩЕПЛЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛПНПП В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 301
где
(A.-W = 5 dv (72.9)
есть матричный элемент электрического момента D-. Из (72.1) следует, что матричные элементы энергии возмущения равны
Wmm' = -(Ds),nm$. (72.10)
Вычислим (D-)mm>. Подставляя в (72.9) волновые функции г|$/,п из (72.5) и имея в виду, что z — rcos 6, получим
СО Я 2 Я
(?)„„„, = — е J Rhir3 dr J PTPf cos 0 sin 0 dO J <;'<»« d<p. (72.11)
0 0 0
Если то этот интеграл равен нулю, так как
есть периодическая функция ср. Если же т = тг, то второй интеграл в (72.11) есть четная функция cos 0 и поэтому равен пулю. Таким образом, (D;)nwl' = 0. Вместе с тем в любом состоянии, принадлежащем уровню E"ni, среднее значение электрического момента Dz (72.8) равно нулю. Согласно (72.10) равна также нулю и энергия возмущения. Отсюда следует, что в водо-
родоподобпых атомах не может быть расщепления уровней в элек-
трическом поле, пропорционального полю, так как средний электрический момент равен'нулю. Расщепление, пропорциональное высшим степеням поля, конечно, будет иметь место. В самом деле, функции электрона в поле будут отличны от нулевое приближение!). В первом приближении мы можем положить
— ип1т~\- • • • > (72.12)
где unUn — некоторый добавочный член, пропорциональный первой степени поля ё.
Расчет показывает, что в этом приближении, когда уже учитывается деформация атома, средний электрический момент D~ не равен нулю, а пропорционален полю Ш:
Dz = a8. (72.13)
Этот момент есть результат поляризации атома в поле. Потенциальная энергия этого момента в поле Ш равна
Г = — -“-8*, (72.14)
что соответствует работе поляризации
Ш
W = — \ $d(Dt)
о
при увеличении поля от нуля до Ш.
302
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. XII
Вместе с тем смещение квантовых уровней будет пропорционально квадрату поля ??2. В расчет величины а, носящей название поляризуемости, мы входить не будем.
Иное положение вещей имеет место в атоме водорода, где помимо вырождения, связанного с различными ориентациями орбитального момента, имеется еще «/»-вырождение. Каждому квантовому уровню Е°п принадлежит п2 функций вида (72.5), различающихся как числом /(/ — 0, 1, п— 1), так и числом ш. Удерживая в памяти помер уровня п, мы можем выписать функции, принадлежащие уровню ?;1, в виде
ty/m, * = 1, 2, л —1; m = 0, ±1, ±1, (72.15)
всего п2 таких функций. Наиболее общим состоянием, принадлежащим уровню ЕП, теперь будет
