Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для каждого из корней Eha (68.12) мы получим свое решение для амплитуд сjf из уравнения (68.10). Чтобы отметить, что решение с\°\ •••, •••, с)'" принадлежит уровню Eka, мы вве-
дем в ср* еще один индекс а так, что решение уравнений (68.10) для Eka запишется в виде
E = Eka, с = с'?'[9 с^ъ ..., 4°р, .... C}k, а=1, 2, ..., fk. (68.13)
Если бы мы еще удержали индекс k, то полная нумерация для с(0) была бы а- Уравнение (68.13) есть приближенная (в нулевом приближении) волновая функция оператора Н в «?°»-представле-нии. В «^-представлении решение (68.13) запишется в виде
h
ф*а = 2 С«№Р (*)• (68‘13')
Р = 1
Таким образом, каждому уровню Е^Ека принадлежит теперь своя функция (р*а, которая и является функцией нулевого приближения для возмущенной системы (Я).
Отличие функций (68.13') от функций (68.1) состоит в том, что в (68.1) коэффициенты аа$ произвольны (вплоть до условия ортогональности (68.2)), а коэффициенты в (68.13) определены. Следовательно, функции нулевого приближения цка представляют собой частный случай функций невозмущениой задачи ф?а. Заметим, что если вычислить следующие приближения, то нетрудно убедиться, что условием пригодности метода теории возмущения будет опять-таки (67.13), которое теперь для вырожденного случая будет иметь вид
\Wm?itHa\<,\Efn-EQnl (68.14)
В § 41 было показано, что задача нахождения собственных значений и собственных функций любого оператора L, заданного в матричной форме, сводится к решению уравнений (41.4) и
А) Название «вековое уравнение» заимствовано из астрономии.
288
ТГ.ОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. XI
(41.5). Понимая в (41.4) под оператором /.оператор полной энергии Ну мы должны учитывать, что в случае вырождения вместо каждого из индексов п и т в этой формуле теперь фигурирует по два индекса пу а и ш, (3 соответственно. В результате из
(41.4) получаем уравнения
У! па^па “ Ест$, (68.1о)
п, а
которые совпадают с (68.5), так как
Нwp, па — Е°тдтп + Wаа. (68.16)
Уравнение (41.5), соответствующее системе (41.4), в нашем случае запишется несколько сложнее (по форме), так как строки и столбцы матрицы оператора Н нумеруются двумя квантовыми
числами п и а. Именно, при каждом п имеется fn разных значе-
ний а (/„-кратное вырождение). Число fn возрастает с увеличением п. Для первого уровня Д---=1 термин «вырождение» не применяется.
Расположить элементы tfmPi па в матрицу не представляет труда. Так, можно нумеровать какой-нибудь столбец парой (я, 1), а следующие столбцы номерами: (/г, 2), (//, 3), ..., (/г, ffL)y затем пойдут столбцы с номерами (п+1, 1), (п-\-1, 2), ..., до
(/г+1, /л-ы) и т. д. Подобным же образом нумеруем строки (m, 1), (ш, 2), ..., (ш, fm) и т. д. При такой же нумерации элементов матрицы Hm$ina уравнение для определения собственных значений Е может быть написано в следующем виде (это и есть уравнение (41.5) для нашего случая):
|ЯП.„-Е| #11, 21 ~я.ь*/2 ••• #11, fcl - #11, kfk •••
#21, 11 #21, 21 Е • •• #21, 2/2 ••• #21, kl ••• #2L, 6/* •••
Н 2/о > 11 #2/о, 21 .. #2/,, 2/2 -Е • • • #2/2, kl • " Я2/2.*/Л
Hkl, 11 Нь 1.21 • • • Hki.'ki — Е ., •• #/?i, /г/л
Ukfi. и 21 • • • Hkfrki
Hkfk* 11 Hkfk> 21- • • Hkfk,ki -•Hkfk,kjk—E
(68.17)
Обведенные прямоугольниками матричные элементы относятся к одному и тому же квантовому уровню. Так, например, в первом прямоугольнике (один элемент) — к уровню k = 1, во втором — к уровню k = 2, в третьем —к k-му уровню. Если мы пренебре-
ВОЗМУЩЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВЫРОЖДЕНИЯ
2S9
жем матричными элементами, относящимися к различным уровням, т. с. элементами типа Нт$,па (тфп) (эти элементы, согласно (68.16), равны Wmр,,.«), то уравнение (68.17) упростится и примет вид
I Я,ы
О
#21, 21“Е ... Н21, гf.z Ihfrn ¦¦¦
II
in, iti E ••• Hk\, hfк
... Нк
kfk' hf к"
(68.18)
Такую матрицу называют ступенчатой. Ее определитель А0 (Е) разбивается на произведение определителей менынего-ранга, именно *),
#21,21 — Е ... IIп, 2уз
А°(?) = 1|Я11,11-?]
Я,
2/2. 21
Них, ki — E ... IIki, k)k
¦ 0. (68.19)
••• Ihfk, kfk-E
Обозначая входящие сюда определители через Afk{E), получим
А0 (?) = \ (Е) А/а (?)... Д,А (?)... = 0. (68.20)
Уравнение (68.20) будет удовлетворено, если А/1(?)=0, или
А/, (?) = 0, или вообще Afk (E) = 0. Корни этих уравнений и дают в первом приближении энергии первого, второго и вообще k-ro уровня. Уравнение
А/Л?) = °
(68.21)
тождественно с уравнением (68.11), установленным другим путем.
В § 41 мы объясняли, что задача нахождения собственных значений оператора может рассматриваться как задача о приведении к* диагональному виду его матрицы. Из изложенного видно, что принимаемое в теории возмущения первое приближение
г) Этот результат получается сразу, если раскрыть определитель (63.18) по обычному правилу раскрытия: произведение элементов на миноры.
290
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. XI
заключается в том, что мы пренебрегаем матричными элементами, относящимися к разным уровням, и, таким образом, задачу о приведении к диагональному виду бесконечной матрицы сводим к приведению к диагональному виду конечных матриц (отдельных матриц в ступенчатой матрице (68.18)).
