Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
¦Т]Ъ о
iitn + Тх ¦
т. е. наши решения принадлежат собственному значению
= П [ т
lffl +
J. = h
(64.30)
(64.31)
Обращаясь к решениям (61.28) и (64.23'), мы сидим, что в первом решении т может пробегать значения т — —(/-[-1) (при эгом ^—0), - /, —/-j-i, ... ... , 0, 1, 2, ... , /, а во втором решении — значения т~ — /, 1, ...
..., 0, 1, 2, ..., (/-—1) (при til — I г}\ = г|)2 = 0). Вводя теперь квантовое число
1
:l + ls ИЛИ / = | l — ls | =
, мы можем написать (64.27) и
(64.27') в виде (S4.10). И, наконец, введя обозначение nij — m-j- - на основании сказанного о возможных значениях т при заданном /, получаем (64.11).
§ 65. Нумерация термов атома с учетом спина электрона.
А1ультиплетная структура спектров
Состояние электрона в поле центральных сил мы характеризовали тремя квантовыми числами п, /, т. Квантовые уровни Hh! такого электрона определялись двумя квантовыми числами а, /. При этом мы совсем игнорировали спин электрона. Если учесть еще и спин, то каждое состояние г}),,/,п (г, О, <р) окажется в сущности дьойным, так как возможны две ориентации енппа
1
S; = l!msy ms= Ti:
(65.1)
Таким образом, к трем квантовым числам, определяющим состояние центра тяжести электрона, присоединяется четвертое определяющее сипи электрона. Обозначим волновую функцию электрона с учетом спина через у\\цт,„5 (г, 0, cp, s~). Так как взаимодействие спина с орбитальным движением мы сейчас не учитываем, то, согласно (60.5), эта функция может быть представлена в виде
Цп/тт, (Г, 0, ф, Sz) = (Г, 0, ф) S,„s (s.-) (<>5.2)
(причем значок а функции S мы на этот раз заменяем значком ms). Соответствующий квантовый уровень есть
? = ?„,. (65.3)
'Четверка квантовых чисел может принимать следующие значения:
п-= 1, 2, 3, , 0 ;,/ :// - 1,
1
— 1<^т с/, ms = 'dz
2 *
(65.4)
МУЛЫ IlUJlLl ii \'t Civywi У PA CIILKI POL)
273
Дли каждого терма En[ мы имеем 2/-{-1 состояний, отличающихся ориентацией орбитального момента; каждое из которых в свою очередь распадается па два состоянья, отличающихся спином. Всего 2(2/+1) состояний. Таким образом, налицо 2 (21 + 1)-кратное вырождение.
Если учесть теперь слабое взаимодействие спина с магнитным полем орбитальных токов, то энергия состояния будет зависеть еще от ориентации спина s относительно орбитального момента М. Мы не будем здесь излагать расчет этого взаимодействия, так как поправка па взаимодействие спина и орбитального движения оказывается такого же порядка, как и поправка, происходящая от зависимости массы электрона от скорости. Поэтому правильный расчет расщепления уровней требует в этом случае релятивистского уравнения для движения электрона, рассмотрение которого выходит за рамки этого курса. Ограничимся качественным анализом этого расщепления и оценкой его величины. Магнитный момент электрона Whi находится в поле орбитального тока d$i. Его энергия в этом поле равна
А (65.5)
Величину магнитного поля 3'€t мы можем оценить как магнитное поле диполя, эквивалентного орбитальным токам, т. е. диполя с моментом SW,. Это поле равно
^г=:(3>^г)г_М,> (656)
где г есть радиус-вектор, соединяющий диполи 9Л/ и в. Поскольку пас интересует только порядок величины А/;, то мы
можем считать где а есть длина порядка внутриатом-
ных расстояний (10~86M*). Тогда
А/Г ^cos (mv 3>ё,). (65.7)
Величины моментов Хм\, ^У\п по порядку равны магпегопу Бора (9,27-10 21 эрг; с, a cos (?№, 3€), в силу свойств спина, может принимать только два значения J: 1 (смотря по ориентации спина: по полю <f€i или против пего). Подставляя в (55.7) численные значения, получаем А? ^ z\: 8 • К) 15 эрг. Зга величина мала в сравнении с разностью энергий между уровнями, отличающимися числами /г, /, и поэтому возникающие новые спектральные лниип близки друг к другу. В частости, для упоминавшегося в § 57 дублета Na (лпппн 5896 А и 5890 А) А/; ^ 2,8 • 10 1Г) эрг.
Таким образом, различием в ориентациях спинового магнитного момента по отношению к внутреннему магнитному полю
274
СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ. X
атома можно объяснить происхождение мультиплетности спектральных линий.
Из изложенного явствует, что для атомов с одним оптическим электроном возможны только дублеты (двойные линии) соответственно двум ориентациям спина электро-2\ на. Этот вывод теории вполне подтверждается
спектральными данными.
Обратимся теперь к нумерации уровней атома с учетом мультиплетной структуры. При учете спин-орбитального взаимодействия ни орбитальный момент М, ни спиповый s не имеют определенного значения в состоянии с определенной энергией (они не коммутируют с оператором Гамильтона). По классической механике мы имели бы прецессию векторов М и s вокруг вектора полного момента J:
J = M + s, (65.8)
как это показано па рис. 48. Полный момент J остается при этом постоянным. Соответствующее положение имеет место и в квантовой механике. При учете спинового взаимодействия только полный момент J имеет определенное значение в состоянии с заданной энергией (он коммутирует с оператором Гамильтона Н). Поэтому при учете взаимодействия спина с орбитой состояния следует классифицировать по значениям полного момента J.
