Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Образуем теперь оператор квадрата спина электрона. Из (59.12) имеем
s2 = sl+sl+sl = Th2
1 о о 1
= Хт'
(59.13)
Вводя квантовые числа ms и ls, определяющие значение проекции спина на любое направление OZ и его квадрат соответственно, мы можем написать формулы для квантования спина в полной аналогии с формулами (51.9, 10) для орбитального момента
1
/п.,
S; = Ums,
§ 60. Спиновые функции
(59.14)
(59.15)
Мы видим, что в квантовой механике состояние спина должно характеризоваться двумя величинами: абсолютным значением |s| (или s2) и проекцией спина на какое-либо направление s2. Первая величина (s2) предполагается для всех электронов одинако-
СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ
253
вой, поэтому речь может идти лишь об одной переменной s2. Таким образом, наряду с тремя переменными, определяющими движение центра тяжести электрона (х, у, г или рх, ру, рг и т. п.), появляется еще одна переменная sz, определяющая спин электрона. Поэтому можно сказать, что электрон имеет четыре степени свободы.
Соответственно этому волновую функцию -ф, определяющую состояние электрона, следует считать функцией четырех переменных: три относятся к центру тяжести электрона, а четвертая —
к спину (sz). Например, в координатном представлении для
электрона следует писать
г|; = 1|5(х, у, г, sz, t). (60.1)
Так как спиновая переменная имеет только два значения (dr Ь/2), то можно сказать, что вместо одной функции мы получаем две:
4>1 = ф(*. У, 2, +у, t), (60.2)
= у, г, tу (60.2')
Эти функции мы будем иногда писать в виде матрицы с одним столбцом
Фг 0
г|зг 0
(60.3)
а сопряженную функцию — в виде матрицы с одной строкой
= ?|. (60.3')
Такой способ написания позволит воспользоваться правилами § 41 (41.2).
Ясно, что волновые функции tyi и г|)2 будут только в том случае различны, если существует реальная связь между спином и движением центра тяжести. Такая связь существует и представляет собой взаимодействие магнитного момента спина с магнитным полем токов, создаваемых движением центра тяжести электрона. Это взаимодействие обусловливает мультиплетную структуру спектров (см. § 58). Поэтому, если мы игнорируем мультиплетную структуру спектров, то мы можем вообще пренебречь взаимодействием между спином и орбитальным движением. В этом приближении
Vi(x, у, г, 0 = ^a(^ У. г, /) = ф(х, //, г, /). (60.4)
Однако, чтобы и в этом случае отметить, что речь идет о частице обладающей спином, пишут функцию (60.1) в виде,
254
СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ. X
соответствующем разделению переменных
Ц(х, у, г, s*, 0 = Уу OSa(s^), (60.5)
где через Sa (sz) обозначена спиновая функция. По существу это простой значок, указывающий состояние спина частицы.
Смысл, этого «значка» или, иначе, «спиновой функции» таков: индекс а принимает два значения, которые обычно полагают равными + 1/2 и —V2 (вместо 1 и 2). Первое значение + Va (или 1) означает, что проекция спина не некоторое избранное направле-
ние OZ равна + у. Второе значение индекса а означает состояние спина с другим возможным значением проекции спина на это же направление, именно — у. «Аргумент» sz «функции» Sa рассматривают как независимую переменную, могущую принимать два значения: Тогда
S+,/f(4) = l, S+v,(-4) = 0, (60.6)
,1 , п
так как по смыслу значка в состоянии + s*=-f у, и
в этом же состоянии не может быть s2 = — у, поэтому соответствующая функция равна нулю. Подобным же образом
S-v,(4) = О, S_v,(-4) = 1. (60.6')
Запись же в виде (60.1) и, как частный случай, в отсутствие взаимодействия спина и орбитального движения, в виде (60.5) позволяет рассматривать спин s* как динамическую переменную, подобную любой другой механической величине.
Введенные «волновые» функции спина Sa (s?) обладают свойством ортогональности и нормировки. Чтобы в этом убедиться, возьмем произведение
Sa (S*) Sfi (S2),
где S* означает, как всегда, функцию, сопряженную с 5, а а, Р = ±2. Просуммируем это произведение по всем возможным
значениям спиновой переменной s* Этаких значений только два:
^ \
±yj. Тогда непосредственно из (60.6) и (60.6') (имея в виду, что S* = S) следует, что
Ц5гЖ) Sp(s,) = 6ap. (60.7)
¦ 60]
СПИНОВЫЕ ФУНКЦИИ
255
Функция Sa(s*) может быть записана и в матричной форме (60.3). Именно,
0 0
1 о
> + */*
ot в
1 о
0 о
1 о о о
S-
v«:
ot
О 1
о о
(60.8)
(60.8')
Вычислим теперь результат действия любого спинового оператора типа
U til <60-9>
L —
на волновую функцию. Значки 1, 2, если оператор L взят в «sz»-представлении, означают номера собственных значений
Согласно формуле (39.5), определяющей действие оператора, данного в матричной форме, на волновую функцию, мы будем иметь, что оператор L образует из функции ? (-фх, if>2) новую функцию Ф (фъ Фг) по правилу
Ф1 = ^11^1 + U2^2, (60.10)
фг — ^2l4"l + ^22^2 • (60.10')
Отличие (60.10) от (39.5) заключается лишь в том, что в (60.10) мы имеем двухрядные матрицы и соответственно функцию из двух компонент, а в (39.5) мы подразумеваем матрицу с неограниченным числом элементов Lmn и функцию с бесконечным числом компонент cn(clt с2, ...).
