Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 69. Расщепление уровней в случае двукратного вырождения
Рассмотрим частный случай снятия вырождения возмущением, когда интересующий нас уровень невозмущенной системы двукратно вырожден. Пусть собственному значению Ей оператора Н° принадлежат две функции (fk = 2): и г|^2. Любые две функции
(p?i и ср?2» получающиеся из tyh и путем ортогонального преобразования, будут также собственными функциями оператора #°, принадлежащими уровню Е%. Это преобразование мы можем записать в виде (см. (68.1))
Ф*1 = #11 Vkl + #12 ^2, (69.1)
фА’2 = #21 'ф/а -\- #22 'флг • (69.1')
Чтобы удовлетворить условию ортогональности (68.2), положим оа= cos 0 • е'&, a12 = sin0-e-''P, ) ^ ^
«2i= — sin 9 -е'15, a2i = cos 0 • J
причем 9 и р здесь два произвольных угла. Таким образом, ф*1 = cos 6 • -f s in 0 • \
Ф*2 = — sin б • -|- cos б • e~^k2 j
представляют собой наиболее общие выражения для волновых функций, принадлежащих двукратно вырожденному уровню ?*.
Ортогональность и нормировку этих функций легко проверить непосредственно и убедиться также, что коэффициенты (69.2)
удовлетворяют условию ортогональности (68.2). При (3 = 0 = 0 из
(69.3) получаются исходные функции и Пусть теперь наложено некоторое возмущение W. Нулевое приближение будет выражаться функциями, являющимися функциями невозмущепной системы, т. е. функциями (69.1), но с вполне определенными коэффициентами; иначе говоря, значения углов 0 и р будут зависеть от вида возмущения W. Для определения этих углов будем искать прямо коэффициенты с± и с2 в суперпозиции
4 = cityki + c2tyk2- (69.4)
Согласно изложенной выше теории эти коэффициенты определяются из уравнения (68.10), которое в рассмотренном частном
РАСЩЕПЛЕНИЕ УРОВНЕН ДВУКРАТНОГО ВЫРОЖДЕНИЯ
291
> = 0, 1 =0, /
случае имеет вид
(Et + Wn-E)ci+W12c2 = 0,
(El + W22-E)c2+W2ici
где W1 j, W12, W2i, W22 — матричные элементы энергии возму щения:
W22 = \tmnkidx, W^WI^^KW^dx.
Вековое уравнение (68.11) имеет тогда вид
Ги-е W»
2 (Е) —
W 21 W 22 — 6
где е —поправка к энергии k-ro уровня:
е = Е-Е1
Раскрывая определитель (69.7) и решая получающееся квадратное уравнение, мы найдем два корня
_Wn + W22,lp (Wn-W22)*
ei>2-----2-----± V ---4----
Из уравнений (69.5) находим
= 0,
12 I
(69.5)
(69.6) (69.6') (69.6")
(69.7)
(69.8)
(69.9)
Полагая
С2 Б ГИ
(69.10)
w12 = \ Wn |-с2'Р (69.11)
и подставляя в (69.10) первый корень (еь знак +), получим
= = ctgO-c2'P, (69.12)
(Ii/U-IT22)2
2 1 У 4
а для второго корня (е2, знак —)
_Ci_ _____________I Wn I
С-2 ~ Wn-W„ Г(Wn-W^F
I Wit i2
'л___________у
tg 0 • e2,’p. (69.12')
i3
Таким образом, получаются следующие решения (в «^-представлении):
^п + ^22 | -j/~(Wn-w22)*
Еь 1 — Еь ¦
2 1 V 4
Ф*1 = cos 0 • е'Р'ф*! + sin б • е-'р •
'12 |
(69.13)
292
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
[ГЛ. XI
<РЛ2 =
WU+W2i
(Wn-W22)z
причем
¦tgf
2 У 4
sin 0 • е'р • я])*! + cos 0 • е_,’р •
= _______________________|У|3|
Wa-Wu _ 1 АГУц — 1У»а)3
W'b
u^;2,
2 У 4
•|V^12 I2
2('Р .
IW'.-.I ¦
Весьма важным является частный случай, когда Wn=W2i, №12 = Г21.
Для этого случая имеем
?n==- El-yWn + W12,
Ф« = у 2
Еы = ЕИ- Wu-Wls,
Фаз =
V 2
(69.13')
(69.14)
(69.15)
(69.16)
(69.17) (69.17')
Преобразование (69.3) етгь поворот. Мы можем пол учить прямую геометрическую аналогию, если буд:м считать R = 0 (это требует, чтобы U?32 = U721). Тогда коэффициенты а действительны. Частные значения коэффициентов а — коэффициенты с —также действительны. Вместо (69.4) мы можем написать,
са = т):
(69.18)
(69.19)
<P=M*! + Ttf3
(индекс k мы будем держать в уме). Если потребовать, чтобы
1-+ч2=',
то средним значением энергии возмущения W в состоянии (69.18) будет
w = I (6*? * + Ч'К*) W № + №) dx. (69.20)
Согласно (69.6) получим
W = Wn^ + 2W12l4 + W22r?. (69.21)
Это уравнение можно рассматривать как уравнение кривой второго порядка на плоскости (5, rj). Таким образом, среднее значение W ссть квадратичная форма от амплитуд (?, rj), представляющих состояние (р.
Введем теперь вместо системы координат g, т] новые координаты ?', ц', отличающиеся от первых поворотом на угол 6:
3" = cos 0 • ?' — sin 0 • г)', т] = sin б • J' -{-cos 0 • rj'
(69.22)
ЗАМЕЧАНИЯ О СНЯТИИ ВЫРОЖДЕНИЯ
293
Подставляя в (69.18), получим
Ф = 6'<Р? + Л'Ф2» 1
cpf; — cos б • л\>4 + sin б • | (69.23)
ф2 = — sin 0 • tfj + cos 0 • *ф§. J
Относительно функций ф? и ф5 матрица W должна быть диагональной. Дей-
ствительно,
1Р;,=$Ф?^Ф1Л: = е„ N
W= lj цЛ!,Ф<(Л dx = е,, I (69.24)
и7;г = ^Ч);*#ф5с/л: = \У'1=0. .
Поэтому среднее значение W в состоянии ф представится теперь в ином виде:
W = ф*#ф dx = S]|/2 +
(69.25)
т. с. в новых переменных 11' средняя энергия является кривои второго порядка, отнесенной к главным осям (рис. 52).
Таким образом, задача о приведении матрицы W к диагональному виду совпадает с геометрической задачей о приведении к каноническому виду кривой второго порядка (отнесение к главным осям).
В более общем случае ? и у] комплексны, поэтому полного совпадения задач нет, но аналогия сохраняется, если Н и 1) и в этом случае рассматривать как координаты точки.
