Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
j*fx-fxP = 0, (64.5)
= 0, (64.5')
j*j?-j\jb = 0; (64.5")
эти равенства —такого же вида, как и (25.6). Отсюда следует, что оператор J2 и оператор любой проекции (по одной), например Jz, одновременно могут быть приведены к диагональному
виду, и, стало быть, величины У2 и Jz принадлежат к числу одновременно измеримых.
Легко видеть также, что оператор J2 коммутирует с операторами М2 и s2. Действительно, обращаясь к формуле (64.4), мы непосредственно видим это свойство оператора J2, так как
М2 коммутирует с Ж2, Мх, М,п Мг и sX9 sy, s~ и s2. Равным
з
образом S'2, являясь единичной матрицей (умноженной на ~^Л2> см. (59.13)), коммутирует с sx, sy и s-. Поэтому
J2M2-M2j2 = Q, (64.6)
>52-5^2 = 0. (64.6')
§ Glj СПО.Н/ГВЛ ПОЛНОГО Д\ОЛ\Г_НТА ИМПУЛЬСА 209
Следовательно, J2> М2 и s2 представляют собой также одновременно измеримые величины. Из (G4.4) имеем
(Als) -=-‘ C/*-AI2-s2). (64.7)
Так как (Ms) образуется из величин одновременно измеримых, то скалярное произведение (Ms) одновременно измеримо с J", М2 и ь2.
Замечая, что
(М) + 52 = (У«), (64.8)
мы получаем нз (G1.7) еще скалярное произведение Qs):
(Js) = ~ (J2-M2 +s2). (64.9)
Ниже мы покажем, что квадрат полного момента J2 и его проекция Jz на любое направление квантуются аналогично орбитальному моменту, но полуцелыми числами. Именно,
J* = h*j(j +1), / = у, ¦?-, •••• (64.10)
J z — ftftij, dz|, ..., dzj, (64.11)
причем квантовое число /, определяющее собственные значения полного момента, может быгь выражено через орбитальное число / и спи новое ls (59.14) по формуле
/ = / + ls или / = !/ — /5|. (64.12)
Из формул для собственных значений J2 (64.10), М2 (25.21) и s2 (59.14) получаем важные в спектроскопии выражения для собственных значений (Ms) и (js):
(Ate) = y I/ (/+ 1) ~ I (I + 1) “ Is (Is +1)], (64.13)
(Js) — v,2 [/(/+l)-/(/+1) +/,(/*+1)]. (64.14)
Эти формулы мы применим позднее к теории сложного эффекта Зеемана.
Обратимся теперь к доказательству формул (64.10) и (G4.ll). Уравнение для собственных функций J2 имеет вид
№ = (64.15)
где под ? следует понимать столбец
Н?1- (64-16)
270 собственный механический II МЛПШТПЫП МОМЕНТЫ [ГЛ. X
Пользуясь (64.4), (59.13) и (59.12), находим уравнение (64.15) в раскрытой форме
ЛГ
+!»¦
1 о 0 1
0 1
I О
II
¦ м
п_ I О — i lJ 2 \ i О
1 О
0—1
J2
+
tl
Ь
У2ф1 0
У2<|>2 0
Производя здесь умножение и сложение матриц, получаем
м*ь+4 п'2ь++*(Mx-iMu)q2 о т2 + 4лчь-й/Й,ъ+г,(.мх+шу)ъ о
и, наконец, сравнивая элементы, получаем два уравнения П*Ь+ПМг+ Гг {Мх - Му) 1ft =
№% + ~ Щ2 - ПМА'2 + Л(Мх+iMy) = J^.
Эти уравнения легко решаются, если положить
= aYlm (0. ф). Ч’г = bY/, m+1 (О, ср),
(64.17)
(64.18)
(64.19) (64.19')
(64.20)
где Ут(0, <р) сферическая функция, а а и Ь — неопределенные коэффициенты. Тогда имеем
М2$1=ЬЧ (/+1) ih, Мг'р1 = Ът'р1 (64.21)
=ПЧ (1+1) М2\|зг = П (т + 1) (64.21')
и, далее,
(Мх-Шу) Ylm = -*V(l + rn]) (1-т+ Г)" Y,, т_ь (64.22)
+ Y im = — ft |/(/ — /л) (/ + /я -{- 1) У I, m+i' (64.22')
Эти последние два равенства получаются из свойств сферических функций х).
Подставляя и фо из (64.20) в уравнения (64.19) и пользуясь (64.21) и
(64.22), после сокращения первого уравнения на ti-Y/от, а второго на й2К/|Ш+1
получим
|^/ (/ -f-1) -f- —j- /72J й — |/ {I -j- tu -j~ 1) (/ — tri) b = “hoi, (64.23)
(/-f-1) -f- — tu — 1J b — "\f“b 1) {I — m) я ==: 'hb, (64.23')
где
(64.24)
Чтобы эти уравнения имели отличные от нуля решения, необходимо, что-
г) См. дополнение V, формулы (33), (34).
СВОЙСТВА ПОЛНОГО МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
271
бы их определитель равнялся нулю. Это даст нам уравнение для определения К:
= 0.
¦ V (^ т — т) I 1) "Ь ^ — т — 1 ^
Отсюда находим два корня
*-№К
Сравнивая это с (64.24), получаем искомые собственные значения J2:
(64.25)
(64.26)
(64.27) (64.27')
Первое значение отвечает сложению орбитального и спинового моментов, а второе— вычитанию их. Подставляя значение К в уравнения (64.23) и решая их, находим а и /?, а вместе с тем и собственные функции (64.20). При этом мы еще нормируем их так, что а2 + ^2=1-
Несложные выкладки приводят к следующим функциям: для собственного значения (64.27)
v
/ + т-\-1
2/-1-1
у.
7 тг*
(64.28)
2/+1
у/.
/п + 1
1 — т
и для собственного значения (64.27')
41+\
*г==У Т/+Г-
Уш,
YI, m+v
(64.28')
Решения, как мы видим, вырождены. В самом деле, при заданном / можно брать разные числа т —0, ±1, ±2, ..., ± /, а собственное значение J2 от m не зависит. Причина этого вырождения заключается в том, что при заданной абсолютной величине вращательного момента J2 возможны его различные ориентации в пространстве. Чтобы в этом убедиться, покажем, что решения (64.28) и (64.28') являются также собственными функциями оператора Jz — проекции полного момента J па OZ.
Действительно, уравнение для собственных функций оператора Jг есть
= (64.29)
или, в раскрытом виде,
(Af„.+s.)i|> = {Afz + y|i _l|}|J'| = ^|^ •
272
CObCTBLl II1ЫГ1 MLXAIII14LCKIiH II МДГШ1Т11Ы11 MOM 1:11 ТЫ
[ГЛ. X
Отсюда, пользуясь (64.21), получаем
О
h
fitn + -у ]
