Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 51. Потенциальная энергия U (v) — х2-'гкх3 и- плотность вероятности 1 я[),г
о) дли IS -- I!п . 6) дли IS ф Ел.
существуют волны, как уходящие в бесконечность, так и приходящие из нее, так что ноток частиц через поверхность, окружающую атом, равен пулю. Такой случай представляется малоинтересным. Чаще приходится иметь дело со случаем, когда имеются лишь уходящие волны (см. § 99). Тогда стационарных состояний не существует вовсе. Если требовать, чтобы имелись лишь уходящие волны, то находимые методом теории возмущения функции (*) описывают поведение частиц лишь в течение не очень большого времени /. Однако па самом деле это время может быгь очень велико, и оно тем больше, чем меньше значение параметра X. Такого рода состояния г|эя (х) и соответствующие им уровни Еп мы будем называть к в а з и ст а ц и о п а р н ы м и.
§ G8. Возмущение при наличии вырождения
В большинстве важных в приложениях задач приходится встречаться со случаем вырождения, когда в невозмущепиой системе (//°) собственному значению Е--E'h принадлежит не одно состояние ф;;, а несколько гр;;х, ф,°го,..., ..., %t. Если теперь
ВОЗМУЩЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВЫРОЖДЕНИЯ
285
действует некоторое возмущение W, то без специального исследования нельзя сказать, какая из функций г}');а будет являться пулевым приближением к собственным функциям оператора Й — В самом деле, вместо ряда функций • ••
..., г|;^, принадлежащих собственному значению могут быть взяты новые функции ф,"ь сг;;2, ф?/сс, .ф^, получающиеся из первых линейным ортогональным преобразованием:
f
ф,°/а = V] ^ар^Р» (68Л)
0-1
/
2 “ баа'* (68.2)
Р---1
Функции ф "а, будучи ЛИНСЙПЫМИ Комбинациями функций llvip, будут также решением уравнения Шредингера
Н\п = (68.3)
принадлежащим собственному значению и при добавочном условии (68.2) будут ортогональными, если функции г|>;;а ортогональны. Функции фпа суть поэтому также возможные функции
нулевого приближения, по неизвестно, какие коэффициенты аП^ следует взять, чтобы получить правильное нулевое приближение.
Для решения этого вопроса обратимся к уравнению (66.9). Нам, однако, следует теперь его несколько модифицировать, уточнив обозначения. При наличии вырождения собственные функции оператора имеют по крайней мере два индекса (//, ос). Поэтому в этом случае (66.4) следует написать подробнее, заменяя индекс а на два: /г, а. Тогда мы получим
(.X) — 2 cnotytm М* (68.4)
п, а
Соответственно этому уравнение (66.9) получится (заменяя п на /г, а; т на ш, (5) в виде
(?¦;’,. + W tn$% тр — Е) W/|САа =¦- 0, (68.5)
п, а ; ш, р
где
= (68.6)
есть матричный элемент энергии возмущения и получается из
(66.7) увеличением числа квантовых чисел, нумерующих состояния. Е'т есть энергия ш-ro квантовою уровня для певозмущеипой задачи. Эта энергия от квантового числа а не зависит (вырождение).
Допустим, что мы теперь желаем иайги квантовый уровень возмущенной системы ?/,, близкий к ?/!, и соответствующие
286
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. XI
собственные функции г|?*а(*). Ограничимся решением этой задачи в первом приближении для уровней и в нулевом приближении для функций.
В отсутствие вырождения мы полагали для функций нулевого приближения, что они просто совпадают с невозмущенными. Соответственно этому в нулевом приближении с?а = 1, а остальные равны 0. Этого нельзя сделать при наличии вырождения, ибо, отбрасывая в нулевом приближении возмущение W, мы получим из (68.5)
(E*k - Е) ck$ = 0;
это дает ск$Ф 0 для Е=--Е1, но при этом не одно а все принадлежащие собственному значению ?*, именно, ck$ для р=1, 2, ..., fk. Таким образом, в нулевом приближении не одна амплитуда, а целая группа отлична от нуля. Поэтому правильным нулевым приближением для функций к-го уровня будет
cka — ска{Ф^)^ <Х=1, 2, ..., |
> (68./)
Спа~ 0 (пф k).
В этом приближении мы возьмем из уравнений (68.5) те, которые содержат не равные нулю cka. Это будут уравнения
(Ей + Wfcfl, эд — Е) Ck}\ +2 каска — 0.
(68.8)
Поскольку мы ограничиваемся нулевым приближением к к-му уровню, мы можем опустить индекс к (держа его просто в уме), положив при этом
№р„ = *а = 5 dx, (68.9)
с?' = с'&, а=1, 2, ..., f„. (68.9')
Тогда уравнения (68.8) запишутся в виде
hi
(El + Ww - Е) cj?1 + 2 = 0, P = 1, 2, ..., fk. (68.10)
У El мы сохранили индекс /г, чтобы подчеркнуть все же, что речь идет о группе из fk состояний, принадлежащих уровню ?*.
Для того чтобы уравнения (68.10) имели отличные от нуля решения, необходимо, чтобы определитель системы (68.10) обращался в нуль, т. е.
Д (?):
Ц+Wix-E W'is - w,/k
\vtl Щ + W^-E - wtfk -0
Wfkl ¦ . . ¦4 + Wshfh-F-
(68.11)
ВОЗМУЩЕНИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ВЫРОЖДЕНИЯ
287
Это —алгебраическое уравнение степени для определения Е. Часто оно называется вековым1) уравнением. Из него мы получим fk корней:
Е ~ Ек 1, Еь2, • • • j Ека> ..., Efcf (68.12)
Так как матричные элементы W$a предполагаются малыми, то эти корни будут близки между собой. Следовательно, мы получаем важный результат: при наложении возмущения вырожденный уровень (Ек) распадается на ряд близких уровней (68.12). Вырождение снимается. Если некоторые из корней (68.12) равны, то вырождение снимается лишь частью.
