Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
о%Гх = Hi cos a>t, Jry = HtsirnBt, М.-Н» (63.3)
Подставляя (63.2) и (63.3) в уравнение (63.1), пользуясь видом матриц Паули (59.9, 9') и правилом действия этих матриц на спиновые функции, найдем уравнение для компонент спиновой функции Si и S2 (первая принадлежит 3)?* = -fа вторая —2)Гг = — jx):
ih == - yiHoSi - ntfie^S,, (63.4)
ih = + ixH0S2 - (63.4')
Мы будем считать, что в момент вступления частицы в переменное поле (/ = 0) ее магнитный момент направлен по оси OZ, так что при t = 0 Si=l, S2 = 0.
х) Это можно сделать для тяжелых частиц (ядра, атомы), но нельзя сделать для электронов. Бор показал, что методом Штерна Герлаха вообще невозможно измерить магнитный момент свободного электрона (см., например, Мотт и Месс и, Теория атомных столкновений, «Мир», 1969, гл.^9).
2) Это уравнение не содержит оператора кинетической энергии, которая в данном случае должна бы быть кинетической энергией собственного вращения частицы. Однако поскольку s2 остается постоянным, постольку и эту энергию следует считать постоянной. Поэтому ее можно не вводить в уравнение.
а) В действительных опытах Раби переменная составляющая магнитного поля линейно поляризована. Однако для вычислений удобнее взять вращающееся в плоскости (ху) поле. Результаты ничем существенным не различаются.
2С)6 СОБСТВЕННЫЙ МЕХАНИЧЕСКИЙ И МАГНИТНЫЙ МОМЕНТЫ [ГЛ. X
Положим
агг4- (63'5)
Тогда уравнения (63.4), (63.4') можно переписать в виде
d-^ = i{-S1 + iv\e-^S2, (63.6)
| S2 + ivAeiaiSi. (63.6')
Дифференцируя (63.6') по времени, можно, пользуясь (63.6), исключить функцию Si. Заодно выпадет и переменный коэффициент e~i(ot. После несложной выкладки получим уравнение для S2:
4F = -{t + v2A2 + 5)s2 + ^^. (63.7)
Это уравнение решаем подстановкой: S2 = aei9J. Характеристи-
ческое уравнение для определения частоты Q будет
a2-Qco-(°J + v2A2 + 'J) = 0. (63.8)
Если положить
+ (63.9)
где I — Н/2 есть проекция спина, и ввести igO — Hi/H0, то нетрудно убедиться, что для из (63.8) получается
Q = + | ± | (1 + <?2 + 2^ cos 0)1/2 = +1- ± б. (63.10)
Поэтому общее решение для S2 будет
io)t __ ..
+а2е2 ‘ (63.11)
В соответствии с начальными условиями нужно взять аг = — а2 — = Л/2/, так что
ш
So (t) =Ае~2~ sin 8t. (63.1 Г)
Амплитуда А определится из условия Sx (0) = 1. Подставляя (63.1 Г) в (63.6') при t = 0, найдем A = ivA/&. Поэтому
• А 10)'
S2 (/) = e~i~ sin б/. (63.12)
Вероятность найти в момент t магнитный момент ЭЛ,, равный
— ц, будет
= '|[<> +«, + 2?cosS)'«0. (63.13)
§ 64] СВОЙСТВА ПОЛНОГО МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 267
Время t в опыте Раби равно времени, в течение которого частица пролетает через пространство В. Если скорость частицы есть v, а длина пространства В равна /, то t — 1/v.
В опыте берут q=l, а 6/ = л/2 (чтобы получить максимум вероятности опрокидывания P(t)). Отсюда легко оценить, что при у^10Г) см/сек, 1=1 см частота переменного поля со будет равна 10° гц.
Чтобы судить о точности этого замечательного метода, укажем, что способом Раби были измерены магнитные моменты для протона (р) и нейтрона (п) и получены значения: (лр = 2,7896 i±i ±0,0002, 1,935 ±0,02 (за единицу принят ядерный магне-
тон Бора, равный eft/2Mcy где М— масса протона. Этот магнетон в 1842 раза меньше магнитного момента электрона).
§ 64. Свойства полного момента импульса
Мы видели, что и орбитальный момент М, и спиновый s представляют собой величины, принимающие лишь квантовые дискретные значения. Рассмотрим теперь полный момент импульса, являющийся суммой орбитального и спинового моментов.
Оператор полного момента определим в виде суммы операторов орбитального момента М и s:
j=M + s, (64.1)
Jx = Mx-\-sXJ Jy — My-\-Sy, Jz — Mz-\-sz. (64. Г)
Покажем, что операторы компонент полного вращательного момента подчиняются тем же правилам коммутации (25.5), что и компоненты орбитального момента MXJ Му, Mz. Для этого заметим, что М и s коммутируют, так как оператор М действует на координаты, а оператор s на них не действует. Поэтому
JxJy'— J yJх — {Мх + sx) (М„ + Sy) — (Му-\- Sy) (Мх + sx) =
= MXMU —MbMx -f- sxsy—SySx = ihMz -f- ihsz (64.2) (последнее в силу (25.5) и (59.1)). Таким образом,
JxJ у — jylx = iftJzi (64.3)
Jyh — JzJy= ihJ x% (64.3')
J zJ x — J xJ z — ihJ у (64.3")
(два последних равенства получаются из первого циклической перестановкой).
2G8 СОБСТВГПНЫП МЕХЛНПЧТ-СКИП II МЛГППТИЫП МОМЕНТЫ [ГЛ. X
Найдем теперь оператор квадрата полного вращательного момента J2. Имеем
J2 - (м + s)2 = М2 + s2 + 2MS =
= М1 + + 2 (M,vs... + М Я + М Д). (64.4)
Оператор J2 коммутирует с любой проекцией J. Например, рассмотрим проекцию на OZ + Так как Mz коммути-
рует с Ж2, s2 и s^ с М2, s2, то получим
J*J. - jj* = 2 (мxsx + Mys,j + Ms,) {Mz + s..) -
-2 (M, + s,) (M.A+MA + ^-s,)-Раскрывая здесь скобки, найдем
- Jzr- г--. 2 {{МХМ: - ММ,) $х + (MyMz - ММи) S,J +
+ Мх (iX — sjx) + М:, (s,(s.- — si,)}
и, подставляя сюда выражение е круглых скобках из (25.5) п
(59.1), получаем окончательно
= 2{ — ihMusx + i/iMxs,j + Мх (— iiisu) -)- Му = 0.
Подобным же образом доказывается утверждение для остальных двух компонент. Таким образом,
