Основы квантовой механики - Блохинцев Д.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 70. Замечания о снятии вырождения
Мы показали, что при включении возмущения вырождение, свойственное невозмущенной системе, снимается: сливаю-
щиеся- уровни расщепляются. Чем обусловлено это расщепление? Для ответа на этот вопрос обратимся прежде всего к причинам вырождения.
Мы видели, что, например, уровни электрона в поле центральных сил вырождены 21 + 1 раз (если не считать спинового вырождения). Это вырождение обусловлено тем, что энергия электрона в поле центральных сил не зависит от ориентации момента импульса относительно поля. Математически это выражается тем, что гамильтониан в этом случае обладает симметрией вращения, именно, гамильтониан
Рис. 52. Геометрическая иллюстрация приведения к диагональному виду матрицы второго ранга.
(/¦ = У**+0* + г8) (70.1)
остается неизменным при повороте системы координат, когда координаты л', у, г переходят в х', у’, г'. В самом деле, при
294
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
[ГЛ. XI
повороте
x2 + y2 + z2 = х'2 + У'2 + Z'2, (70.2)
= ^ + + *L = iL + JL + Л /70 2')
дхду2^ dz2 дх'2 ^ ду'2 ^ dz'2 [ }
последнее равенство вытекает проще всего из того, что
V2 = (V)2,
так как V есть векторный оператор, а квадрат вектора не меняется при повороте. Таким образом,
Н°(х, у, г)==Я°(*', уг'). (70.3)
Если наложенное возмущение не обладает сферической симметрией, то энергия электрона будет зависеть от ориентации момента и произойдет расщепление уровней. Вместе с тем для оператора Я равенство (70.3) уже не будет иметь места. Этот пример показывает, что наличие вырождения связано с той или иной симметрией поля, а снятие вырождения —с нарушением этой симметрии.
Приведем еще пример. Пусть мы имеем осциллятор в плоскости х, у, обладающей одинаковыми частотами со0 для колебаний по ОХ
и по OY. Уравнение Шредингера для такого осциллятора имеет
вид
-^(5- + ж) + 1Т'<,!+!Л'Г = ?Т- Р0.4)
Гамильтониан в этом уравнении остается неизменным при повороте системы координат вокруг оси OZ. Таким образом, он обладает симметрией вращения. Согласно сказанному следует ожидать вырождения. Оно действительно имеется. В самом деле, уравнение (70.4) решается сразу разделением переменных:
? (х, г/) = гМ*)^2 (у),
е = ех+е2. } (70-5)
Подставляя (70.5) в (70.4), обычным путем получаем два уравнения
+ = (70-6)
+ 4 № 2 = Е2Ь. (70.6')
Эти уравнения для осцилляторов имеют известные функции и известные собственные значения, именно,
(х) = (*)> Ei = Йсо0(^tii -f- yj, fti = 0, 1, 2, (70.7)
^ 2 (у) — (У)» Е2 = Йсо0 \^n2Jr^j, По== 0, 1, 2, ... (70.7')
§ 70] ЗАМЕЧАНИЯ О СНЯТИИ ВЫРОЖДЕНИЯ 295
Отсюда
Ч,/21/72(^> У) = 'фд?! (*) (у)у Enitl2 = 7ш0 (tii "Ь ~Ь 1). (70.8) Введем «главное квантовое» число
л = tii "Ь ^2 ~i~ ^ 1 и2 “ ^ — 1. (70.9)
Тогда
4nnt(x> У)=1^пЛх)^п-п1-\{у), Еп = Пщп, /1=1, 2, ... (70.10)
Каждому уровню Еп будет отвечать п функций («1 = 0, /гх= 1,
Я! = я— 1). Следовательно, вырождение действительно имеется.
Допустим теперь, что возмущение W заключается в изменении коэффициента упругости для колебаний вдоль оси OY. Тогда частота колебаний по оси OY изменится. Пусть она будет равна сох. Гамильтониан возмущенной системы тогда получит вид
?/ h2 ( д2 , д2 \ , цсо-х2 , \xtfy2
П “ 2|х [дх2 + ду2) + 2 + 2 ’
W (у) = у\
W здесь— возмущение. В рассматриваемом примере решение возмущенной системы может быть получено точно. Дело, очевидно, сводится к замене в (70.7') со0 на сох. В результате решение получит вид
у)=^п, (х) 'hu (у),
Бп,п, = + Й(0]П2 + ~с^ + Y
или
^/2, (^> ^/) =='Ф/г! W —/2i — 1 (У)>
п -ь if?/ i\ ! . ftco, } (70.10')
Еп, «1 = Лщпь + ^1 (я ~ “ 1) + 2 * J
Как видим, уровни с различным значением числа nL и одним и тем же п будут иметь разную энергию. Один уровень Еп невозмущенной системы расщепился на уровни Еп% 0, ?Л| х............. Еп%п-1
(числом п). Вырождение снялось.
Резюмируем вывод из этих примеров. Если гамильтониан #° (х, у, г) остается инвариантным (неизменным) по отношению к некоторому преобразованию координат (х, у, г->¦*', у*, г'), то собственные значения ?° вырождены. Если возмущение нарушает указанную инвариантность, то, хотя бы частью, вырождение снимается.
(70.8')
Глава XII
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 71. Ангармонический осциллятор
Гармонический осциллятор является идеализацией реальных механических систем. Действительная потенциальная энергия
частиц никогда не представляется функцией ^^х\ а изображается гораздо более сложной функцией U (х). Первое выражение справедливо лишь для малых х. Чтобы уточнить выражение потенциальной энергии U (х), мы можем кроме члена ^~х2 учесть еще и более высокие члены разложения U (х) по степеням отклонения х:
а (х)=-^х2 + Хх3 + ... (71.1)
Коль скоро добавочные члены остаются малыми, мы имеем дело с гармоническим осциллятором, несколько возмущенным наличием отступлений от кривой, свойственной идеальному гармоническому осциллятору. Такой осциллятор мы будем называть ангармоническим.
Найдем квантовые уровни ангармонического осциллятора, считая добавочные члены (71.1) малыми (X мало). Решим эту задачу методом теории возмущений, опираясь на уже известные решения для гармонического осциллятора. В качестве возмущения W у нас фигурируют добавочные члены в выражении для потенциальной энергии *)
