Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
§ 29. Регулирование пограничного слоя
65
граничном слое. Как это далеко от первоначальной концепции Лагранжа!
При больших углах атаки можно избежать потери скорости и получить большую подъемную силу при помощи так называемых разрезных крыльев. Такие крылья знакомы пассажирам самолетов и могут быть получены при помощи предкрылка и закрылка. К сожалению, разрезные крылья увеличивают лобовое сопротивление, поэтому их используют лишь на взлете и при посадке, когда в первую очередь важно получить большую подъемную силу при уменьшенной скорости. Хотя трудно предсказать математически, как работают разрезные крылья, характер влияния щелей на течения вдоль верхней стороны крыльев, очевидно, подобен действию струй, которые снижают тенденцию к отрыву потока посредством ускорения пограничного слоя. Изобретательные техники пробовали также использовать струи для тех же целей.
Другое многообещающее приспособление основано на создании принудительного подсоса либо через щели, либо через равномерно размещенные круглые отверстия на тех участках, где иначе произошел бы отрыв пограничного слоя. В этом случае пограничный слой отжимается к стенке, и мы опять получаем лучшее приближение к течению Жуковского. Если используются щели, то, исходя из теории Жуковского, нужно создать повышенное давление как раз впереди щелей1). Можно также попытаться использовать подсос для того, чтобы сохранить пограничный слой ламинарным, тем самым опять-таки уменьшая лобовое сопротивление. К сожалению, очень трудно, по-видимому, получить такое ламинарное течение. Даже летящие в воздухе насекомые могут вызвать турбулентность при обтекании самой гладкой поверхности крыла.
Последняя идея Прандтля заключалась в том, чтобы помешать уменьшению скорости в пограничном слое, а следовательно, и отрыву, используя движущиеся границы. Хотя в лабораторных условиях и можно продемонстрировать правильность рассматриваемой идеи2), но до сих пор ее применение имеет лишь эмпирическую основу, так что в дальнейшем мы больше не будем возвращаться к этому вопросу.
’) См. Goldstein S., J. Aer. Sci., 15 (1948), 1891—220; P f e n n i n-ger W„ там же, 16 (1949); 227—236; Doehnhoff A. E., Lofton L. K., Jr., там же, 729—740; Lachmann Q. V., J. Roy. Aer. Soc., 59 (1955), 163—198.
2) Cm. [11], n. 51—52; Ackeret J., Das Rotorschiff..., Goettingen, 1925; Favfe A,, Comptes Rendus, 202 (1936), 434—436. По поводу идей Прандтля см. также § 9.
66
Гл. II. Парадоксы вязкого течения
Технические трудности, встречающиеся при реализации упомянутых выше соображений, не должны заслонять лежащую в их основе идею — аппроксимацию идеального течения Жуковского, описанного в § 8.
§ 30. Парадокс Стокса
В § 25—29 мы рассмотрели трудности, связанные с теоретическими расчетами течений при больших числах Re. Теперь мы перейдем к противоположному случаю, когда Re->0. В этом случае разложение по степеням Re уже не связано с «сингулярным возмущением» в смысле § 24; нелинейный конвективный член и • Vu не будет членом самого высокого порядка, и с математической точки зрения представляется вполне целесообразным его попросту опустить.
Это было сделано Стоксом, который ввел, таким образом, новый класс идеальных течений, обычно называемых «ползущими». В таком приближении Стокс вывел формулу
D = &Kpcv (15)
для сопротивления, испытываемого твердой сферой радиуса с при медленном движении со скоростью о в жидкости с вязкостью ц. При выводе существенно используется гипотеза (С) применительно к осевой симметрии. Окончательная формула (15) хорошо подтверждается экспериментально1) при Re <0,2.
Казалось бы, вполне естественно применить тот же самый метод к круговым цилиндрам, движущимся перпендикулярно оси. Однако в этом случае мы имеем следующий парадокс.
Парадокс Стокса. Стационарное «ползущее» обтекание кругового цилиндра невозможно.
Доказательство. При плоском стационарном ползущем течении уравнения Навье—Стокса (11) сводятся к уравнению V2C = 0. Если V—функция тока, то последнее уравнение эквивалентно уравнению V4V = 0, т. е. V — бигармоническая функция. Отсюда следует, что V — аналитическая функция2). Действительно, во всяком круговом кольце функцию V можно разложить в ряд Фурье
v — 2 ап (г) cos я0 + ?„ (г) slnn0. (16)
') [3], п 215. По поводу формулы (15) см. [7], п. 337—338.
2) Относительно свойств используемых бигармонических функций сы.
Nicolescu М., Les fonctions polyharmoniques, Hermann, 1936, особенно
стр. 13—16 и стр. 32. Обычно вместо строгого доказательства ссылаются на гипотезу (Е).
§ 30. Парадокс Стокса
67
где а„(г) и Ьп(г) удовлетворяют соотношениям
tWn = ИпЬп = 0, Е\ = ~ - г?г\ (16')
Если вектор скорости (dV/dy, —dV/dx) в прямоугольных координатах ограничен на бесконечности, то простое вычисление дает соотношение a\{r) = А^г + а,/г, и ап(г) = а'п/гп~2-\- o!'njrn при 2. Отсюда следует формула
V^^+l/0 + g0lnr + ^^6 + *|Sina -f
+ 2 {(т^ + 7^")cos Л0 + + 7^)sin Л0 }¦ ^
2
С другой стороны, если V4y = 0, то из теоремы о дивергенции следует уравнение
//(VVUxiV vi^v)\ds,
А С
где С — кривая, ограничивающая область А.
