Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
§ 27. Теория пограничного слоя
Фундаментальный вопрос механики жидкостей состоит в том, чтобы найти взаимосвязь между решениями уравнений Эйлера для движения невязкой жидкости и решениями уравнений Навье — Стокса для жидкостей с исчезающе малой вязкостью. Математически речь идет об асимптотическом поведении решений системы (3), (4) при ц->-0 (т. е. при Re->-+oo). Поскольку обычно для кораблей и самолетов числа Рейнольдса лежат в интервале 106— 109, то для того же интервала огромное практическое значение имеет задача расчета лобового сопротивления.
') См. Nisi Н. and Porter A. W., Phil. Mag., 46 (1923), 754; [17], стр. 294; Saltman P. J., /. Fluid Mech., 1 (1956), 249—275.
2) Современную формулировку этого принципа дал Birkhoff G. D.,
Rice Institute Pamphlet, 28 (1941), № 1, 24—50; Collected Papers, т. 3,
стр. 778—804. Любопытно, что формальные системы математической логики
игнорируют этот принцип, применимость которого к физике была замечена
и 1894 г. Пьером Кюри («Oeuvres Scientifiques», Paris, 1908, особенно
«¦p. 119—215).
§ 27. Теория пограничного слоя
61
Легко видеть, что обычная теория возмущений к этой задаче не применима, так как член, учитывающий вязкость vV2u, в уравнении (3) имеет самый большой порядок и, следовательно, возмущение вязкости v относительно значения v = 0 есть сингулярное возмущение1). Тип уравнений в частных производных обычно определяется членами наивысшего порядка. Таким образом, пренебрежение членами высшего порядка ведет к стиранию различий между типами уравнений. Даже для обыкновенных дифференциальных уравненнй такого вида, как еу" + у = 0, с краевыми условиями у(0) — a, r/(l) = b, мы получаем в пределе совершенно различные картины в зависимости от того, положить ли е-> + О или е-> — 0.
Современные исследования указанного выше сингулярного возмущения в большинстве исходят из идеи Прандтля о том, что завихренность имеет место лишь в тонком пограничном слое жидкости у любой твердой границы, в котором происходит резкий перепад касательных напряжений, и в следе (часто близкого к вихревому слою) позади тела. Вне этого пограничного слоя и следа течение является почти безвихревым, и к нему применимы уравнения Эйлера.
Для собственно пограничного слоя Прандтль2) построил модель, согласно которой некоторые члены в уравнениях отбрасываются. Для двумерного потока он получил (пренебрегая силой тяжести) уравнение
ди , ди , ди , 1 # / \ д2и , . ., ..
? + “? + 4 + 7P(jc) = V?' Р=Р(х)> (14)
плюс обычное условие несжимаемости (4) ди/дх + dv/dy = 0. Уравнение (14)—уравнение параболического типа, и его можно интегрировать численно, пока и > 0, с учетом краевых условий и(х, 0) = v{x, 0) = 0 на неподвижной стенке и и(х, оо) = иж(х) вне пограничного слоя, причем предполагается, что их(х) выражено через давление по уравнению Бернулли: ри^/2+ />(.*) = const. Предполагается также, что в первой же точке, в которой и(х, у) < 0 при положительном у, происходит отрыв потока 3).
Были предприняты различные попытки сделать более строгим несколько интуитивный вывод Прандтлем уравнения (14); вероятно, более всего заслуживает внимания то, что сделано
‘) Это подчеркивали Oseen ([9], стр. 211) и др.
3) Proc. Third Int. Math. Congress Heidelberg (1904), стр. 484—491, перепечатано в [37].
J) Болес подробно см. в [3], гл. IV; или в [43], стр 94—99 и 222—224.
62
Гл. //. Парадоксы вязкого течения
Мизесом1). Однако многие результаты теории еще далеко не ясны. Кроме неразъясненной сингулярности у передней кромки, к ним относится также следующий парадокс.
Парадокс пограничного слоя. Теоретически при выводе уравнения (14) предполагается, что отношение Ь/х толщины. пограничного слоя 8 к длине х стремится к нулю. Экспериментально же показано, что если 8/* <0,01, то пограничный слой становится турбулентным и уравнение (14) не удовлетворяется 2).
Например, пограничный слой остается ламинарным вдоль корпуса корабля и вдоль крыльев самолета во время полета всего на расстоянии нескольких сантиметров! Эту турбулентность пограничного слоя можно связать, как мы сейчас увидим, с турбулентностью в трубах.
§ 28. Парадоксы Эйфеля и Дюбуа
Представление о том, что сопротивление снаряда D должно быть плавно возрастающей функцией скорости снаряда и, весьма старо. Так, во многих учебниках можно найти «доказательства» (с помощью анализа размерностей, см. § 61) того, что сопротивление D должно быть пропорционально v при малых скоростях и пропорционально г/2 при больших скоростях. Поэтому в высшей степени удивительным показался открытый в 1912 г. Констанци и Эйфелем 3) следующий парадокс.
Парадокс Эйфеля. При числах Рейнольдса, близких к критическому числу Re,<p. ~ 150 000, сопротивление сферы фактически убывает с возрастанием скорости.
Два года спустя Прандтль показал, что это падение сопротивления зависит от возникновения турбулентности в «пограничном слое» около сферы и эта турбулентность может быть вызвана путем увеличения шероховатости сферы или же при помощи дополнительной турбулизации потока. Действительно,
') ZAMM, 7 (1927), 425—427 Эвристическое исследование сингулярности для течения вблизи передней кромки плоской пластинки см. С а г г i е г G. F., Lin С. С., Quar. Appl. Math., 6 (1948), 63—68.
