Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть теперь А — область между цилиндром и большой окружностью радиуса г. Так как на цилиндре V = dV/dn = 0, интеграл в правой части предыдущего уравнения, взятый по этой части С, должен обращаться в нуль. На большой окружности, поскольку
v2i^= о(/—2). v=0(r), vy=0(i) и v(vavo = 0(r-3).
справедливо соотношение
S {^2у^-уЖ^2у'>}а5 = 0{г~2)'0(г)0
с
при г-> оо. Так как (V2^)2^ 0, то отсюда следует, что V2^ = 0, т. е. V должно быть гармонической функцией. Следовательно, в формуле (17) а„ = Ьп — 0. Наконец, из условия dV/dr = 0 — условия прилипания на поверхности цилиндра — следует, что V = Уо и v = 0, а это завершает доказательство1).
‘) Подробное изложение вопросов § 30 и § 31 см, в [1*], — Прим. ред,
68
Гл. II. Парадоксы вязкого течения
§ 31. Уравнения Озеена
Озеен1) и Ламб ввели парадокс Стокса в рамки теории, показав, что конвективные члены преобладают над вязким членом при очень больших значениях г, как бы ни было мало число Re. Переопределенности можно избежать, более аккуратно переходя к двойному пределу при Re-»-0, г-*- + оо.
Чтобы получить разрешимую краевую задачу, Озеен предложил ввести в оператор D/Dt вместо точных членов 2 Uhdfdxk линеаризованные конвективные члены 2 uk(co)d/dxk. Благодаря введению таких слагаемых в уравнения Стокса Озеен смог получить теоретическую формулу для лобового сопротивления в случае медленно движущегося цилиндра. Приближенное экспериментальное подтверждение этой формулы возможно, хотя и оказывается довольно трудным ((3], гл. IX).
Это разрешение парадокса Стокса в свою очередь привело к другому парадоксу, открытому Файлоном®). В парадоксе Фай-лона утверждается, что уравнения Озеена, взятые буквально, дают бесконечный момент для эллиптического цилиндра, косо поставленного относительно потока. Этот парадокс был недавно разрешен Имаи пр'и помощи перехода к более высоким приближениям.
Приближенные уравнения Озеена можно также использовать для исправления формулы (15), чтобы учесть влияние малого, но конечного числа Re на лобовое сопротивление сферы; поправочный множитель оказался равным (l+3Re/8). Этот поправочный множитель был тщательно исследован Гольдштейном3), который получил степенной ряд для коэффициента сопротивления CD(Re), сходящийся, вероятно, при Re < 2. Экспериментальные измерения, по-видимому, дают меньшее сопротивление; кроме того, ввиду асимптотического характера исследований Озеена возникает вопрос, не будет ли окончательная формула верна только асимптотически4).
Обзор решений других краевых задач, к которым приводят уравнения Озеена, дан в работе [9], часть III. Однако аппроксимация конвективных членов весьма неточна вблизи препят-
‘) [9], стр. 162; [7], стр. 769; см. также [12], т. VI, стр. 29—40.
2) Filon L., Ргос. Roy. Soc., А113 (1926), 7—27. По поводу объяснения
парадокса Файлона, данного Имаи (Imai), см. там же, А208 (1951),
487—516.
3) Goldstein S., Ргос. Roy. Soc., А123 (1929), 225—235; или [3], § 2ю. Ср. Weyssenhoff J., Annalen der Physik, 62 (1920), 1—45.
*) Cm. Kaplun S., Lagerstrom P. A., J. Math. Mech., в (1957), 585—593; Proud man I., Pearson J. R. A.. /• Fluid Mech., 2 (1957). 237—262.
$ 32. Парадокс пузырька
69
ствий и стенок. В связи с этим теория пограничного слоя Пранд-тля при больших числах Рейнольдса значительно более плодотворна.
§ 32. Парадокс пузырька
В теории подводного взрыва мы встречаемся с положением, аналогичным парадоксу Стокса. Хотя существует простая и чрезвычайно полезная теория сферических пузырьков, возникающих при подводных взрывах1), легко показать, что в двумерной гидродинамике для всякого расширения или сжатия пузырька в несжимаемой жидкости требуется бесконечное значение кинетической энергии
у J J (pV?/ ¦ VU)dxdy.
При конечных силах сжимаемость всегда должна играгь основную роль на достаточно больших расстояниях.
Имеются еще два любопытных парадокса, происхождение которых скорее физическое, нежели математическое, и которые показывают уязвимость гипотезы (А) из § 1. Пусть маленький воздушный пузырек поднимается в жидкости под действием плавучести, причем он настолько мал, что вследствие поверхностного натяжения сохраняет почти сферическую форму и его движение — «ползущее». Так как пузырек состоит из газа, то вместо условия (6) надо взять его логическое обобщение: и(х) должна быть непрерывна при переходе через границу.
Поставленная таким образом математическая задача была решена Рыбчинским и Адамаром при добавочном предположении непрерывности тангенциального напряжения2). Теоретически лобовое сопротивление определяется по формуле
D — 6тссг)(А (|^||^j — 4irqvy, если ^'<0> (18)
где ц—вязкость жидкости, а ц' — вязкость жидкости поднимающегося пузырька.
Все это относится к теории. На практике же для сопротивления, по-видимому, обычно верна формула (15), а не (18). Это значит, очевидно, что пузырек ведет себя так, как если бы
!) См. [7], п. 91—9/а, или [17], гл. XI, § 1—3
2) Rybczynski W„ Butt. Acad. Sci. Cracovie (1911), 40; Hada-mard J., Comptes Rendus, 152 (1911), 1735. Относительно экспериментальных данных см. Barr G., A manual of viscometry, Oxford, 1931, стр. 190 и дальше; Bryn Т., Forschwg Ing., 4 (1933), 27- 30; [11], т. 2, п. 74.
