Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 3. Единственно возможными решениями системы
(3), (4), (6), обладающими предполагаемой симметрией (ста-
¦) Leray J., I. de Math., 12 (1933), 1—82; там же 13 (1934), 331—418; Acta Math., 63 (1934), 193—248; Hopf E„ Math. Nachr., 4 (1951), 213-231. См. также Долидзе Д. E„ ПММ, 12 (1948), 165—180 и 19 (1955), 764.
2) Hopf Е., /. Rat. Mech. Anal., 1 (1952), 107.
3) Значительные результаты относительно существования и устойчивости решений стационарных и нестационарных краевых задач для уравнений Навье —Стокса получены в ряде работ О. А. Ладыженской и ее сотрудников. См. Ладыженская О. А., Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, Физматгиз, М., 1961. — Прим. перед.
56
Г л. //. flapadoKCbt вязкого течения
ционарные течения вязкой жидкости в круглой трубе), являются течения Пуазейля, определяемые формулами
их = а (с2 — г2), иГ — ич — 0>. (12)
Доказательство. Предположение о стационарности течения означает, что функция u = u(*, г, 0) не зависит от времени t. Кроме того, условия задачи инвариантны относительно отражения в любой плоскости, проходящей через ось трубы; течение имеет эту симметрию тогда и только тогда, когда Иа = 0, ux = f(x, г), ur — g{х, г). Согласно нашим условиям, должна быть также инвариантность относительно произвольного переноса вдоль оси трубы. А так как v предполагается не зависящим от давления, то это же относится и к уравнениям (3) и
(4). Симметрия относительно переноса эквивалентна соотношениям их — f (г), ur — g(r). Из этих соотношений и из условия (6) следует, что div u = d[rg(r)]/dr = 0, откуда g(r) = С/г = О, так как на оси g(r) = 0.
Теперь, полагая g = 0, согласно теореме 1, мы используем уравнение (3). Поскольку и2 = иъ = 0, имеем р = р(х). Рассматривая случай / = 1 (с одной координатой х), получаем соотношение
р' (х) = pV2их = v [/" (г) + r~lf(r)\.
Так как левая часть не зависит от г, то правая часть также не должна зависеть от г. Таким образом, (rf')' = rf" + f' = kr
для некоторого постоянного k, к rf' =-^ kr2 + К. Это Дает конечное значение ux = f(r) при г = 0, только если К = 0; следовательно, f' = kr/2 и / (г) = jkr2 + b. Для того чтобы удовлетворялось условие прилипания (6) на границе, должно быть их = а(с2 — г2), что завершает доказательство теоремы.
Подставляя полученные выражения в уравнение (3), мы получаем классический результат, что градиент давления равен
(И)
где Q = иас4/2 есть объем жидкости, протекающий за единицу времени через поперечное сечение трубы.
§ 25. Парадокс турбулентности
Экспериментальные данные в этом случае в высшей степени замечательны. Хотя формула (13) (закон Пуазейля — Хагена) подтверждается при движении жидкости в капиллярных труб-
§ 25. Парадокс турбулентности
57
ках, она полностью теряет силу для обычных гидравлических труб. Точнее, мы можем сформулировать следующий общий парадокс.
Парадокс турбулентности. Для течений в прямых трубах гипотеза симметрии (С) из § 1 выполняется, если число Рейнольдса Re < 1700, и обычно не выполняется при Re > 104. Когда Re > 104, наблюдаемое на опыте течение не обладает ни пространственной, ни временной симметрией и является турбулентным.
0,007
0,006
0,005
•4
^ 0,004 сс
0,003
0,002
0,001
Поверхностное трение Оля воды и воздуха
+
L- +
• Вода в трубе + Воздух в трубе
+ i + ++ + . +
г,wo j________I___
+ •
•+ +
+ •4
VD/i
тот —L...
• t +
25000
-I________I________L.
100000
3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4.2 4.4 4,6 4.8 5,0
Log VD/1
Ркс. 8. Подобие течений воздуха и воды в трубах по числу Re.
Оговорка «обычно» в предыдущем утверждении относится к тому, что можно избежать появления турбулентности, добиваясь полной обтекаемости входного отверстия, полируя стенки и обеспечивая на входе трубы ламинарное течение. При чрезвычайной тщательности можно было таким путем избежать появления турбулентности при значениях Re вплоть до 40000. Но если не принимать специальных мер, то течение в трубках при Re > 2000 будет турбулентным.
Это хорошо иллюстрируют классические экспериментальные данные Стантона и Пэнеля 1), которые воспроизведены на рис. 8.
') Stanton, Pannell, Phil. Trans., A214 (1914), 119—124; более подробное исследование турбулентного течения в трубах см. в [3], гл. VIII.
58
Гл. II. Парадоксы вязкого течения
Они своеобразно подтверждают уравнения Навье — Стокса, показывая, что критическое число Рейнольдса Rehp., при котором имеет место переход к турбулентности, одно и то же для воздуха и воды и равно приблизительно 1700. Теоретически этот вывод можно было бы получить из теоремы 2. Большинство современных специалистов считают, что течение Пуазейля является просто неустойчивым при Re > Rebp., а турбулентное течение все-таки удовлетворяет уравнениям Навье — Стокса. Хотя из принципа подобия (7) теоремы 2 не следует справедливость уравнений Навье— Стокса, их пригодность в случае турбулентного течения подтверждается опытными измерениями скорости затухания однородной турбулентности ').
Кроме того, гипотеза (С) из § 1 все-таки выполняется статистически. Обозначая черточками средние значения, мы можем выразить симметрию посредством следующих формул:
