Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
') Те же самые интуитивные догадки были использованы в § 10, чтобы выделить более предпочтительное «простое обтекание» тонкого крыла.
Глава II
ПАРАДОКСЫ ВЯЗКОГО ТЕЧЕНИЯ
§ 19. Уравнения Навье — Стокса
Несмотря на значительную область применения уравнений Эйлера — Лагранжа, их, вообще говоря, больше не считают приемлемой основой для теоретической гидродинамики. Вместо этих уравнений используются уравнения Навье — Стокса, вывод которых мы сейчас кратко изложим.
Впервые эти уравнения были выведены Навье (1822 г.) и Пуассоном (1829 г.), применившими упрощенную молекулярную модель для газов, что привело к введению положительной вязкости ц > О, которая, как предполагалось, описывает молекулярную диффузию количества движения.
Однако в настоящее время общепризнано, что простые законы для межмолекулярных сил, принятые обоими учеными, безнадежно не соответствуют действительности, особенно в случае реальных жидкостей. Поэтому принципиально более предпочтительным в настоящее время считается континуальный подход Сен-Венана (1843 г.) и Стокса (1845 г.), который позволяет избежать указанных предположений1). Мы начнем с изложения этого континуального (или «макроскопического») подхода.
Такой подход основан на фундаментальной гипотезе, заключающейся в том, что к напряжениям давления, которые рассматривал Эйлер, нужно добавить вязкие напряжения, линейно зависящие от скоростей деформаций. Ниже приводится краткое резюме применяемых при этом аргументов.
Задача заключается в том, чтобы найти связь между матрицей (вязких) напряжений Р = ||р1;|| и матрицей скоростей деформации || dui/dxj ||. Коши показал, что для любой среды, если считать недопустимыми бесконечно большие угловые
ГП^ ПТНУЮ ®и®лиогРаФию см. в [7], стр. 723; исследования Стокса см.
жр Т’ о1*5' ^ 11 дальше: стр. 182 и дальше. Хорошее современное нчло-
ГП*1Ие Сп¦ Serrin J. 1. Math. Mech., 8 (1959), 459-470. (См. также [I*],
I и |. — Прим. перев.)
48
Г л. //. Парадоксы вязкого течения
ускорения (гипотеза (Е) из § 1), матрица напряжения должна быть симметричной: ptj — p;i. С другой стороны, матрица скорости деформации есть сумма кососимметричной составляющей
(I dutldxj — dujldxi ||
2 ’
соответствующей вращению абсолютно твердого тела, и симметричной составляющей
с II dui/dXj-\- duj/dXiW
Ь— 2 •
Так как при вращении твердого тела физическая деформация отсутствует, то симметричная матрица S выражает истинную скорость деформации.
При наличии изотропности главные оси матриц Р и S должны совпадать (мы напоминаем известную теорему алгебры, согласно которой всякую симметричную матрицу можно свести к диагональному виду путем вращения, приведя ее к соответствующим «главным» осям координат). Далее, из наших предположений о линейности и изотропности нетрудно получить, что относительно главных осей справедливо соотношение
Рч = Р — * div ч — (1)
при надлежащих постоянных X, и ц. Кроме того, с учетом симметрии относительно главной диагонали, можно записать равенство
dui ди I
Рч=-щ+1Гх7 = 0> если
Возвращаясь к общей системе координат, мы получим следующие основные уравнения:
, . I дщ ди,\
Рц=рЪц-1 (1*)
которые будем применять ниже.
Если не вводить предположения о несжимаемости, то очень трудно получить для системы уравнений Навье — Стокса корректно поставленную краевую задачу, условия которой были бы физически состоятельными. Прежде всего часто бывает неизвестна величина X (см. § 33). Стокс пробовал предположить, что «вторая вязкость» ц' обращается в нуль:
V- — о.
(2)
§ 20. Реальные газы и жидкости
49
Это может быть выведено из кинетической теории для одноатомных газов1). Можно и ошибочным способом вывести условие (2), определив давление р в виде (рп + Р22 + Рзз)/3. Ловушка состоит в том, что не известно, определяет ли это «давление» плотность согласно термодинамическому уравнению состояния р = р (р, Т), в котором р и р берутся из статических измерений. Если это так, то условие (2) имеет место ([7], стр. 718); в противном случае, мы не знаем, как связать термодинамическое давление с тензором напряжения || Pij II-
§ 20. Реальные газы и жидкости
Помимо сказанного, в реальных жидкостях величины X и |х изменяются вместе с температурой Т и давлением р\ например, изменения температуры имеют большое значение для смазки. В лучшем случае можно надеяться, что К(р, Т) и
Iх(р, Т)—однозначные функции. Для того чтобы эту зависимость учесть математически, уравнения Навье — Стокса необходимо дополнить по меньшей мере уравнением теплопроводности. Это делает краевую задачу совсем не поддающейся решению; но даже и дополненная система физически не точна, так как мы пренебрегли излучением. (Такое пренебрежение весьма правдоподобно в силу гипотезы (В) из § 1.)
Однако движение реальных жидкостей связано и с другими физическими эффектами, которые не учитывались ни Навье, ни Стоксом. Так, в реальных газах при гиперзвуковых скоростях течения важную роль играют эффект релаксации, молекулярная диссоциация и ионизация2). Будущий специалист по гидромеханике, которому придется иметь дело с задачами, связанными со спутниками и их возвращением, должен дополнительно к уравнениям Навье — Стокса хорошо ознакомиться с химической кинетикой.
