Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
ut — F(r), а, = и, = 0, u2x = G(r), u2r — H(r)
и т. д. Таким образом, рассмотрение экспериментальных данных подсказывает нам концепцию статистически определенных решений уравнений в частных производных как новую и увлекательную область для математических исследований. Изучение таких «стохастических дифференциальных уравнений» открывает теперь новые горизонты в математическом анализе.
Несмотря на доблестные усилия математиков2), наблюдаемая неустойчивость течения Пуазейля не получается в результате исследований средствами математического анализа. Предполагали 3) даже, что в идеально гладких круглых трубах течение Пуазейля является устойчивым относительно бесконечно малых возмущений. Однако в настоящее время даже для случая двумерных возмущений совершенно достоверно установлена неустойчивость плоского течения Пуазейля между двумя параллельными пластинками при Re > 5300. Поэтому подобное предположение представляется маловероятным.
') Stewart R. W„ Proc. Camb. Phil. Soc., 47 (1951), 146—157. (Относительно изотропной турбулентности см. [14*], [9*1 и приведенную там литературу. — Прим. ред.)
7) См. Synge J. L., Hydrodynamical stability. Semicentennial publ. Am. Math. Soc., 1938, т. 2, стр. 227—269; [36], особенно § 3.2.
3) См. [11], т. 2, стр. 32—33; Comol et R., Comptes Rendus. 226 (1948), 2049 (также La Houille Blanche, numero special В (1949), 673). Теоретические аргументы см. Pekeris С. L., Proc. Nat. Acad. Sci., USA, 34 (1948), 285—295.
§ 26. Другие парадоксы симметрии
59
§ 26. Другие парадоксы симметрии
Весьма любопытно, что склонность к симметрии проявляется лишь в ограниченной области Re < 1700. Любопытно, что и предполагаемое стремление к наименьшему действию, по-видимому, имеет примерно те же границы, поскольку расход энергии в течении Пуазейля меньше, чем в турбулентном течении1).
Для того чтобы хоть немного разобраться в этих фактах, рассмотрим другие примеры из гидродинамики, в которых необоснованное применение гипотезы (С) из § 1 также приводит к неправильным результатам.
Один из интересных примеров представляет собой течение в трубах с некруговым поперечным сечением. При малых Re в этом случае опять-таки наблюдается параллельное течение, для которого можно вычислить профиль скоростей ([7], § 332) и в котором принцип наименьшего действия остается в силе. При больших Re течение снова становится турбулентным и даже статистически не является параллельным: существуют значительные «вторичные течения»2) в углах трубы.
Другой случай был изучен Дж. Тейлором в его классической работе3). Рассмотрим вязкую жидкость, находящуюся между двумя длинными соосными цилиндрами, которые вращаются в противоположных направлениях с постоянными угловыми скоростями со и о)' соответственно. Описанное течение является (приближенно) симметричным относительно переносов вдоль и вращения вокруг оси цилиндров, а также не зависит от времени. Имеется в точности одно решение системы (3), (4), (6), обладающее такой симметрией; оно носит название «течения Ку-этта».
При малых со, о/ такое течение Куэтта наблюдается экспериментально. При больших числах Рейнольдса вместо течения Куэтта появляется несимметричное, однако нетурбулентное течение. Грубо говоря, сохраняется симметрия во времени, но не в пространстве.
Далее, рассмотрим маленький пузырек воздуха, поднимающийся в стоячей воде под действием собственной плавучести. Благодаря поверхностному натяжению он принимает форму, близкую к сферической, и, во всяком случае, на него не действует ни одна сила, которая не была бы симметричной относительно вертикальной оси, проходящей через центр пузырька. Следовательно, в силу симметрии, пузырек должен был бы
’) По поводу специальных теорем относи 1ельно минимума расхода энергии см. [7], § 344.
) [3], п. 161, где приводятся результаты Ннкурадзе.
) Phil. Trans., А223 (1922), 289-293; см. также [36], гл. 2.
60
Г л. 11. Парадоксы вязкого течения
подниматься вертикально. Однако, и это поразительный факт, при Re > 50 такой пузырек прокладывает себе путь вверх по вертикальной сдирали!
Аналогичное явление имеет место в следе за круговым цилиндром, который движется в потоке параллельно своей образующей. В диапазоне чисел Рейнольдса 50 < Re < 500 эта зона содержит чередующиеся вихри противоположных знаков (вихревая дорожка Бенара — Кармана); это явление будет проанализировано в § 56.
На первый взгляд может показаться, что подобные примеры противоречат метафизическому принципу Лейбница достаточного основания2), а именно нашей гипотезе (С). Более глубокий подход состоит в том, что, хотя симметричные причины обусловливают симметричные явления, почти симметричные причины не обязательно приводят к почти симметричным явлениям: симметричная задача может не иметь ни одного устойчивого симметричного решения. Такая возможность и является действительным источником «парадоксов симметрии» (наблюдаемых нарушений гипотезы (С) из § 1).
Далее отметим, что проанализировать устойчивость решения гораздо труднее, чем получить само решение, поэтому почти наверняка решения будут получаться задолго до того, как будет устаноглена их неустойчивость. В силу этого можно предвидеть, что и и будущем поток парадоксов симметрии не прекратится.
