Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Классическое экспериментальное подтверждение данного следствия (но не обязательно тех гипотез, которые при этом были использованы!) показано на рис. 7а и 76, где приведены коэффициенты лобового сопротивления соответственно для цилиндра и сферы. Едва ли можно было предположить существование этих замечательных кривых, если бы свойства вязкости не были указаны в точной математической формулировке!
Представления, лежащие в основе теоремы 2, будут подробно проанализированы в § 71.
§ 22. Парадокс неаналитичности
Лагранж построил первое доказательство того, что в невязкой жидкости завихренность частицы жидкости является перманентной. К сожалению, доказательство Лагранжа, как показал Стокс ([13], т. 1, стр. 106—112), ошибочно. Оно одинаково применимо и к областям в вязкой жидкости, где эта завихренность неперманентна! Ошибка заключалась в том, что скорость и завихренность предполагались аналитическими функциями времени.
Если это принять (согласно гипотезе (Е) из § 1), то можно рассуждать следующим образом. Основное уравнение (3) эквивалентно (если применить операцию rot к обеим его частям) уравнению
# = W®S + (5.V)u (9)
относительно завихренности | = V X и. С помощью независимых переменных Лагранжа а и t, где а относится к движущейся частице, так что d/dt (а фиксировано) есть D/Dt, мы можем преобразовать частные производные по формулам
dxk ~ ^~daj-
Применяя эту операцию к уравнению (9), получаем соотношение
41 + 2 «*(*. t) AUJ (а, 0-^- = W^ + (5 • V) ut. (10)
Последовательно дифференцируя соотношение (10) по времени t при постоянном а, получим последовательность явных выражений для DniJDtn. Легко показать, что каждый член в
54
Гл. П. Парадоксы вязкого течения
каждом таком выражении содержит в качестве множителя либо
либо либо одну из производных
DtjDt.....Dn-%/Dtn~l и т. д.
Поэтому, предполагая все функции дифференцируемыми бесконечное число раз, индукцией по п получаем, что все Dn?i/Dtn = 0').
Наличие вязкости проявляется в членах с пространственными производными от завихренности. Для невязкой жидкости начальная завихренность |(а, 0) = 0 в любой точке х(а, 0) обеспечивает то, что все D"?/D/n(а, 0) = 0 в тех же точках, в то время как в вязкой жидкости для обращения в нуль пространственных производных от завихренности требуется отсутствие завихренности в некоторой окрестности точки х(а, 0).
И в том и в другом случае, если функция |(а, /) аналитическая по /, то она тождественно обращается в нуль, так как все члены ее разложения в ряд Тейлора (по /) тождественно равны нулю. Это приводит к следующему парадоксу2).
Парадокс неаналитичности. Для того чтобы область жидкости, находящаяся вначале в состоянии покоя (или в безвихревом движении), стала завихренной, она должна уже иметь завихренность, которая является неаналитической функцией времени.
§ 23. Существование и единственность
Прежде чем выяснить пригодность уравнений Навье — Стокса для описания механики реальных (несжимаемых) жидкостей, нам следовало бы убедиться в том, что с их помощью можно формулировать физически естественные краевые задачи, которые математически оказываются корректно поставленными (см. теорему 2, следствие). То есть мы должны иметь теоремы существования и единственности, которые до сих пор доказывались только при весьма ограниченных допущениях.
Что касается задачи Коши (задачи с начальными условиями), то для нее существование и единственность были доказаны для случаев плоских и осесимметричных течений в предположении конечности полной энергии. При доказательстве исполь-
') Если первоначально 5 = 0. — Прим. перев.
2) D.u hem P., Traite d’Energ6tique, т. 2, стр. 121; Truesdell С., Kinematics of vorticity, Indiana Univ. Press, 1954, § 104.
§ 24. Течение Пуазейля 55
зуется уравнение (9), которое для плоского течения имеет упрощенный вид:
DC, „ dv ди ....
~Dt ~v (ID
Однако в пространственном случае даже для конечной полной энергии было доказано только существование — и то лишь для ограниченных интервалов времени1). Хотя предположение о конечности полной энергии, вероятно, может быть ослаблено,— пожалуй, достаточным может оказаться ограниченность скорости, — Е. Хопф'2) показал, что задача Коши для уравнений Навье—Стокса не является корректно поставленной, если допустить, что с увеличением расстояния от начала координат скорость возрастает линейно, а давление — квадратично.
В стационарном случае теоремы существования доказаны для обтекания препятствий произвольной формы как в плоскости, так и в пространстве, но не доказаны теоремы единственности. Если рассматриваемые стационарные течения являются единственными, то при больших числах Рейнольдса они физически неустойчивы-, это явно следует из парадокса турбулентности (§ 25) 3).
§ 24. Течение Пуазейля
Уравнения Навье — Стокса, как и уравнения Эйлера во времена Лагранжа, удалось пока проинтегрировать лишь в нескольких случаях. Поэтому согласование с экспериментом в этих немногих случаях имеет принципиальное значение.
Одним из таких случаев является течение жидкости в длинной прямой трубе, поперечное сечение которой есть круг постоянного радиуса с. Пусть х обозначает расстояние, измеряемое вдоль трубы, а г — расстояние от оси трубы. В этих цилиндрических координатах их, иг и и„ пусть обозначают соответственно осевую, радиальную и трансверсальную составляющие скорости.
