Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
Подобным образом бичом первых сверхзвуковых аэродинамических труб были ударные волны, возникавшие из-за конденсации водяных паров в воздухе — еще одна «скрытая переменная», которую игнорируют при постановке задач по Навье и Стоксу; см. [16, гл. 5].
Экспериментально было обнаружено, что затухание звука в жидкостях и газах — явление, которое определенно предска-
l) Maxwell J. С., Phil. Trans., 157 (1867), 49—88; Чепмен С., К а у-линг Т., Математическая теория неоднородных газов, ИЛ, М., 1961. Дюгем показал, что из второго начала термодинамики следует ц/ > 0.
) См. Li gh thill М. J., в «Surveys in Mechanics», Cambridge Univ. ress, 1956; 250—351; Хейз У. Д. и Пробстин Р, Ф Теория гипер-эвуковых течений, М., ИЛ, 1962. г у
50
Гл. //. Парадоксы вязкого течения
зывается любой точной теорией сжимаемых вязких жидкостей,— в значительной мере зависит от молекулярных эффектов (релаксации), см. § 33.
Ввиду упомянутых выше трудностей, по-видимому, разумно ограничиться рассмотрением несжимаемых вязких жидкостей, но и в этом случае известны различные аномалии. Так, многие жидкости, состоящие из длинных молекулярных цепочек или содержащие глинистые взвеси, называются «неньютоновыми» — таков употребляемый в настоящее время рабочий термин для жидкостей, которые не удовлетворяют уравнениям Навье — Стокса. Сверхтекучесть жидкого гелия — еще одно явление, которое не согласуется с теорией Стокса ').
§ 21. Несжимаемые вязкие жидкости
Ввиду трудностей, описанных в § 20, основное внимание математиков было сосредоточено на уравнениях Навье — Стокса для несжимаемых вязких жидкостей в предположении, что величины ц и р можно считать примерно постоянными. Большинство специалистов считает, что теоретическая гидродинамика, основывающаяся на уравнениях Навье — Стокса, дает довольно точное приближение динамики реальных жидкостей, если число Маха М настолько мало, что можно пренебречь эффектами сжимаемости. Они уверены в том, что (перефразируя Лагранжа) «если бы уравнения Навье — Стокса были интегрируемы, то при малых числах Маха можно было бы полностью определить все движения жидкости» (ср. § 1). Для того чтобы исследовать, насколько обоснована такая уверенность, мы преобразуем сначала эти уравнения к более удобному виду.
Объединив уравнения (1*) с условием несжимаемости (формула (1') из гл. I), мы получим уравнение
Если при обычном выводе уравнений движения учесть
члены, содержащие величину ц, то получим вместо уравнения
Эйлера (2) в гл. I следующее уравнение:
-5T + ygradp = g-f vV2u, » = у. (3)
Вместе с уравнением
div и = 0 (4)
') См. London F., Superfluids, Wiley, 1954, стр. 6—13; Donnelly R. J., Phys. Rev.. 109 < 1958), 1461 — 1463 и приведенную гам литературу.
§ 21. Несжимаемые вязкие жидкости
51
уравнение (3) определяет (ньютонову) несжимаемую вязкую жидкость.
Легко учесть, как действует сила тяжести на твердое тело, погруженное в подобную жидкость, используя следующий принцип ').
Теорема 1. Для вязкой жидкости с постоянной плотностью р0 гравитационный эффект эквивалентен наложению гидростатического давления р0G.
Доказательство. Полагая в уравнении (3) gi — = —dG/dxi, где G — гравитационный потенциал, мы получим в результате уравнение
+ ^ = где р = р-\- р0(7. (5)
Предостережение. Заметим, что преобразование теоремы 1 не сохраняет обычного краевого условия на «свободной поверхности» р = const для границы газ—жидкость. Следовательно, оно бесполезно при изучении волн на поверхности и кавитации (гл. Ш).
Для того чтобы получить из уравнений (3) и (4) корректно поставленную краевую задачу, вместо уравнения (7) гл. 1 введем краевое условие прилипания2) в следующем виде:
U (х) — 0 на любой фиксированной границе. (6)
(На движущихся границах u (х) = v(x) — скорости движения границы, в то время как в невязком случае требуется, чтобы была непрерывной только нормальная составляющая скорости.)
Напомним также основной принцип подобия.
Теорема 2. Пусть u = f(x, t) удовлетворяет уравнениям (3), (4) и (6) при р = const. Если величины V, L, v, V', U, \ постоянные и такие, что VL/y = V’L'jV, то
, , (v'\ti L* LV't \
u' = g(x, 0=(lr)f(—, -Fir) (7)
также удовлетворяет уравнениям (3), (4) и (6), где проведена замена р на р' и р на р', причем
Р' — Р'О = (Р — рО). (8)
*) Karman ThJ. Aer. Sci., 8 (1941), 337—356. В невязком случае этот Результат получен Даламбером, Theorie tie la resistance des fluides, статьи 48, 56. 91, н Аванцинн (1807).
) О значении этого условия мы скажем в § 3+.
52
Гл. II. Парадоксы вязкого течения
Другими словами, любое изменение масштаба (в пространстве и времени), сохраняющее неизменным число Рейнольдса VL/v = pl/L/ц = Re, переводит несжимаемые течения, удовлетворяющие уравнениям Навье — Стокса, в решения тех же самых уравнений.
Рис. 7а. CD (Re) для цилиндра.
Рис. 76. С D (Re) для сферы.
Следствие. ЕсЛи два стационарных течения удовлетворяют краевой задаче (3), (4), (6) при одном и том же числе
§ 22. Парадокс неаналитичности
53
Рейнольдса и если эта краевая задача математически корректно поставлена, то обтекаемые этими течениями тела должны иметь один и тот же коэффициент лобового сопротивления CD(Re).
