Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
') См. Ward G. N.. Linearized theory of steady high-speed flow, Cambridge Univ. Press, 1955.
*) Trans. Am. Soc. Mech. Eng., 64 (1932), 303—310. Относительно современной «линеаризованной:» теории см. (1C], § 8.3; или [15], гл. VIII, § 15.
*) Ко pal Z., Phys. Rev., 71 (1947), 474; [10], стр. 377; подробнее—Tables of supersonic flow around yawing cones, Mass. Inst. Technology (1947), особенно стр. XVI, XVII. Экспериментальные данные приводят Holt М. и В I а с k 1 е J., 1. Aer. Sci., 23 (1956), 931—936.
4) По-видимому, впервые это показал L i g h t h i 11 M. J., Reps. Mem. Aer. Res. Comm., 2003 (1945); см. также Broderick J. B., QJMAM. 2 (1949). 98—120 и [10], стр. 307.
*) Ursell F. and Ward G. N.. QJMAM, 3 (1950), 326—348; Goldstein S., Proc. Int. Math. Congress, Cambridge, 1950, т. 2. особенно стр. 288—289; Adams М. С., Sears W. R., J. Ac'. Sci., 20 (1953), 85—98.
§ 12. Парадокс Эрншоу
37
в случае закругленных тел вращения, таких как сфера, линеаризованная краевая задача, определяемая посредством уравнений (14*) и (15'), дает несуществующие особенности в критических точках (т. е. на оси симметрии). Но самый существенный дефект теории «тонкого крыла» заключается в том, что она не в состоянии предсказать существование ударных волн.
Ударные волны легко наблюдаются в виде четких линий на мгновенных фотографиях движения снарядов, таких, как снимок, изображенный на фронтисписе. В случае конусов и других остроконечных тел при достаточно больших числах Маха эти волны «присоединены» к вершине подобно характеристикам решений линейных гиперболических дифференциальных уравнений. В других же случаях они «отходят» от вершины и оказываются при этом впереди снаряда — там, где по линеаризованной теории не должно быть никакого возмущения.
§ 12. Парадокс Эрншоу
Понятие «ударной волны» можно также вывести теоретически, отправляясь от простого парадокса, которым мы обязаны Эрншоу1). Наш орган слуха свидетельствует, что звук проходит большие расстояния почти без искажений и с постоянной скоростью, зависящей от температуры воздуха. Этот опытный факт делает правдоподобным предположение, что плоские звуковые волны распространяются в идеальном невязком газе, не искажаясь и не затухая. Однако это не так, что показывает парадокс Эрншоу.
Парадокс Эрншоу. При адиабатических колебаниях газа плоские звуковые стационарные волны конечной амплитуды математически невозможны.
Доказательство. Предположим, что форма звуковых волн неизменна и что волны распространяются с постоянной скоростью, нормальной к волновому фронту. Тогда, если мы перейдем к осям координат, движущимся вместе с волнами, то увидим, что движение жидкости не только одномерно, но и стационарно. Выбрав в качестве направления движения ось х, мы можем написать р = р(л:), и = и(х) и т. д., и (без учета силы тяжести) уравнение Бернулли (8) сведется к виду udu + dp/p = 0. Кроме того, уравнение неразрывности (1) перейдет в равенство
') Е а г п s h a w S., Phil. Trans., 150 (I860), 133—148; см. также Stokes, Phil. Mag., 33 (1848), 349; Rankine VV. J. M„ Phil. Trans., 160 (1870), «7; [12], т. 5, 573 (или Proc. Roy. Soc., A84 (1910', 274—284); [7], § 283;
38
Гл. I. Парадоксы невязкого течения
ри = const = С, или и = С/р. Подставляя это в предыдущее соотношение, получаем уравнение
Следовательно, подобное волновое движение возможно только в случае, если жидкость удовлетворяет уравнению состояния (3) частного вида:
Но нам не известен ни один газ, для которого адиабатическое ') уравнение состояния имело бы такой вид.
Как и многие другие парадоксы, парадокс Эрншоу содержит в себе зерно существенной истины. При более тщательном исследовании соответствующих уравнений можно установить, что для адиабатического течения газа более плотные части волны конечной амплитуды нагоняют менее плотные и в конечном счете перегоняют их. Показывается это следующим образом.
Пусть а обозначает всю массу жидкости слева от данной точки, так что х(а, t) представляет собой положение частицы а
дх 1
в момент времени /, а есть удельный объем о =—. Тогда
D/Dt из § 3 заменяется на (d/dt)a, (dx/dt)a = и и (d2xjdt2)a есть субстанциональное ускорение; здесь индекс а означает, что величина а остается постоянной. Уравнение неразрывности (Г) удовлетворяется автоматически, поскольку Dp/Dt = —p2d2x/dtda и div и = рд2х/да dt. Кроме того, можно использовать уравнение состояния (3), для того чтобы исключить р посредством соотношения
(17)
(18)
§13. Возникновение ударной волны
(19)
Следовательно, если не учитывать силу тяжести, то формулы (1)—(3) эквивалентны уравнению
д2х
ж,, дх д2х
(20)
‘) Действительно, если принять (18), то получим d2p/dp2<0, что противоречит второму началу термодинамики,
$ 14. Термодинамика невязких жидкостей
39
Пуассон открыл важный класс решений уравнения (20), задаваемый формулой
u = G(x-(c + u)t), (20*)
где G(r) — произвольная функция. Эти решения были названы простыми волнами ([6]. стр. 92); они характеризуются свой-
ством: и = f с (о) (/о/а, где с2 — dp/dp = —a2dp/da есть квадрат
