Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
По определению, в идеальной невяжой жидкости усилие сдвига равно нулю; следовательно, необходимое и достаточное
§ 36. Разрывные течения 77
условие равновесия на линии тока, являющейся линией разрыва,— это непрерывность давления при переходе через нее.
Если линия тока ограничивает идеализированный след или какую-либо другую область, заполненную неподвижной жидкостью («мертвая вода»), а сила тяжести учтена согласно теореме 1 из § 21, то условие непрерывности давления равносильно условию постоянства давления в рассматриваемой области. Поэтому ввиду непрерывности давления на линиях тока, ограничивающих след, давление должно быть постоянным. Линин тока, на которых скорость изменяется скачком, а давление постоянно, называются свободными линиями тока.
Р и с. 10. а — круглая струя; б — след позади диска.
В силу уравнения Бернулли (8*) гл. I, если все еще пренебрегать силой тяжести, скорость остается постоянной вдоль любой свободной линии тока при стационарном течении, и наоборот: v dv = —dp/p = 0. Это дает чисто кинематическое краевое условие для стационарных течений, ограниченных свободными линиями. Вместе с формулами § 5 оно определяет следующую краевую задачу теории потенциала.
Задача Гельмгольца. Для заданного препятствия R найти потенциал скоростей, удовлетворяющий 1) уравнению V2U = 0 вне препятствия R и вне области «мертвой воды» /?г, 2) условию dU/dn = 0 на границах препятствия R и области Ri и 3) условию 1 V?/12 = const на границе области Ri.
Заметим, что последнее краевое условие нелинейно. Заметим также, что топология течения осталась неопределенной; на практике ее задают исходя из интуитивных представлений или экспериментальных данных (гипотеза (D) из § 1). Две такие топологии течения схематически изображены на рис. 10. На этих рисунках показаны «струя», вытекающая из круглого отверстия в плоской стене, и «след» за диском.
Течения, удовлетворяющие указанным условиям 1)—3), т.е. решения задачи Гельмгольца, в последующем мы будем называть течениями Гельмгольца.
78
Гл. III. Струи, следы и кавитация
В действительности же никто еще не сумел дать точную математическую трактовку указанных выше двух течений Гельмгольца, см. § 49. Однако аналогичные течения для плоского случая, т. е. струя, вытекающая из щели, и след позади плоской пластинки, можно построить довольно легко. Теория этих плоских течений Гельмгольца будет предметом исследования в § 37—391).
§ 37. Годографы в виде полукруга
В общем случае локально безвихревые несжимаемые плоские течения характеризуются существованием комплексных потенциалов W = U + iV. Здесь U — потенциал скоростей, а V — функция тока. Комплексный потенциал W' есть аналитическая функция комплексной переменной г = х + iy, характеризующей положение точки, а ее производная
dW . . ...
_=C = u-ti» (1)
представляет собой сопряженное значение комплексной скоро-
dx dy
сти2) и + iv = ?*, где и = . v~~jf
Если известен потенциал W = f(Q как комплексная аналитическая функция ?, то, следовательно, можно определить г в виде аналитической функции от ?, т. е.
z = fC1f'(qdt = fC1dW, (2)
и следовательно, можно (в принципе), исключив?, найти W(z). Итак, для определения стационарного плоского течения Гельмгольца достаточно знать функциональное соотношение W =f(?,). Каков вид этой функции в случае плоских течений, приведенных
на рис. 10, можно догадаться по годографам рассматриваемых
течений.
Годографом плоского течения называется геометрическое место тех значений ?, которые действительно достигаются в этом течении. Из рис. 10 легко видеть, что годографы соответствующих плоских течений (если они существуют) должны быть полукругами. Это следует из того, что arg? (направление течения)— величина, постоянная на плоских пластинках (фиксиро-
') В русской литературе принят термин «теория струй», в эту теорию входит изучение всех течений со свободными поверхностями, на которых давление постоянно. — Прим. ред.
г) В русской литературе комплексной скоростью называется сама величина dwjdz = и — to. — Прим. ред.
§ 37. Г одографы в виде полукруга
79
ванных границах), в то время как |?| (скорость течения) постоянна вдоль свободных границ, как показано в § 36.
С другой стороны, область W, или геометрическое место значений, принимаемых в данном течении величиной W, ограничена линиями V = const (линии тока), параллельными действительной оси U. На рис. 10, а —это бесконечная полоса. Для случая на рис. 10,6 — это полуплоскость, разрезанная вдоль положительной оси U (если выбрать постоянную интегрирования в
W= j tdz так, чтобы ft критической точке было № = 0).
Аппарат конформного отображения. Пусть теперь Ф — любое течение, имеющее годографом полукруг (следовательно, ограниченное свободными линиями тока и прямолинейными стенками). Мы можем так выбрать оси координат,что величина ? будет принимать действительные значения на неподвижной границе, и так выбрать единицы измерения, что на свободной границе будет |?| = 1. Затем с помощью преобразования а = (? + ?-1)/2 отобразим область годографа на нижнюю полуплоскость 1ш {о} < 0. Конформное преобразование наиболее общего вида, отображающее область годографа на нижнюю полуплоскость, задается формулой
