Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие - Биркгоф Г.
Скачать (прямая ссылка):
т_ао + * _ д(С» + 0 + 2К ,
1 — са + d ~ с (И2 + 1) + 2dt ’ аа> 0С’
где а, Ь, с, d — действительные числа.
С другой стороны, область W любого односвязного течения, ограниченного линиями тока, есть обобщенный «многоугольник», одна или большее число вершин которого расположены на бесконечности и все стороны которого параллельны действительной оси. Следовательно, можно отобразить область Т, определяемую соотношением (3), на область W при помощи подходящего (конформного) преобразования Шварца — Кристоффеля:
СЦ(Т-Вп
—- = Р(Т)=_______^________ (4)
dT «V) д {Т_П) ¦ W
k
где С и Bj, Tk — действительные параметры ([4], стр. 370). Мы видим, что для любого односвязного течения Ф, у которого область годографа есть полукруг, можно записать W в виде
j" Л(С)Л, используя формулы (3) и (4), где А(?) —рациональная функция.
Рассмотренный выше метод можно легко обобщить на случай, когда область годографа есть круговой сектор с углом,
80
Гл. III. Струи, следы и кавитация
при вершине равным тс/л ([17]), гл. II). В этом случае преобразование отображает область годографа на полукруг и, следовательно, соотношение
а(См+1)+2М"
с(Р*+1) + 2Л"
представляет собой отображение области годографа на полуплоскость. А дальше мы действуем, как в предыдущем случае.
§ 38. Истечение струи из щели
Гельмгольц [27] первый применил в 1868 г. описанный выше аппарат к случаю плоской струи, вытекающей из щели, см. рис. 11, а. В этом случае, выбрав единицу длины так, чтобы скачок V при переходе через отверстие был равен и, мы можем в формулах § 37 положить W = In Т, Т = ew. dWfdT = 1/Г.
0
Рис. И. Плоская струя, вытекающая из щели.
Для выбора величин а, Ь, с, d рассмотрим зависимость между ^ и W в физической плоскости. Очевидно, что предел ? = 0 в области годографа на рис. 11,6 достигается тогда, когда W => = — оо в области W на рис. 11, в или, что эквивалентно, когда Т = 0. Из этого следует а = 0 в формуле (3). С точностью до подобия мы можем теперь написать равенства
7*= —2ge-f 1 • W=\nT, С——d/c. (5)
Точка струи, лежащая на бесконечности, где W = + оо, очевидно, соответствует значению ? = eia, (? + ?“’)/2 = с = С =
§ 39. Схема обтекания Кирхгофа
81
е= cos а. Следовательно, уравнения (2) и (5) определяют струю, вытекающую из щели в бесконечной пластинке и образующую с этой пластинкой угол а. Так как подинтегральное выражение в формуле (2) представляет собой рациональную функцию, мы можем произвести интегрирование в замкнутом виде и получим, учитывая равенства (5), следующее соотношение:
In С — In (С2 — 2СС+1); (б)
детали вычислений мы здесь опускаем. Случай вертикальной струи, рассмотренный Гельмгольцем, соответствует С = cos а = 0.
§ 39. Схема обтекания Кирхгофа
В 1869 г. Кирхгоф [31] выполнил аналогичные расчеты для следа позади пластинки. В этом случае преобразование W — = Т2 отображает нижнюю полуплоскость на плоскость с разрезом, являющуюся областью W\ таким образом, R(T) = 2Т в формуле (4), если направить действительную ось вдоль пластинки.
Для того чтобы определить постоянные а, Ь, с, d в формуле (3), мы снова рассмотрим зависимость между W и ? в физической плоскости. Точка W = 0, в которой начинается разрез, соответствует критической точке течения, в которой ? = 0. Отсюда о = 0, и мы снова можем написать равенства (5), помня при этом, что С = cos а определяет направление течения на бесконечности.
Наиболее интересен случай обтекания пластинки под прямым углом; он представляет собой плоское течение, аналогичное изображенному на рис. 10,6. В этом случае равенства (5) сводятся к виду
(7)
Выполняя интегрирование, указанное в формуле (2), мы на этот раз получаем следующее соотношение:
z ~ (cJ-f i)J "2 { cJ-f 1 2 *n Т+Т } const (8)
для всех значений ? = ? + гг).
Вдоль пластинки величина ? принимает действительные значения и соотношение (8) сводится к виду
z ~ "(?r^pijr“Ь 2~{ i "Ь arc U»’}» (8а)
82
Гл. III. Струи, следы и кавитация
где, очевидно, z(0) = 0, и, таким образом, постоянная интегрирования равна нулю. В правой точке отрыва = 1, следовательно,
«да-т+тН+т}-1^5- «и»
Давление легче всего вычислить, положив ? = | = tg6 вдоль пластинки, так что ?/(?2 + 1) =sin0*cos6= 1/2sin26. Следовательно, в силу теоремы Бернулли1) и формулы (8а), давление на пластинку равно интегралу
1 1 */4
f(\—?)dx= f --^[-j-sin2 20 ] = f 2cos2 20</0=-?.
e **o t-o e»o
Отношение этой величины к половине длины пластинки, очевидно, представляет собой коэффициент лобового сопротивления, который, таким образом, равен величине
= ^т = 0,88. (9)
Аналогичные, но более сложные подсчеты для случая обтекания пластинки под острым углом а Ф позволяют получить следующие формулы2):
>¦> _ 2jc sin2 а __ я sin 2а
D 4 я sin а ’ L 4 -(- * sin а ' * *
§ 40. Влияние стенок
Метод годографа 3) можно также применить с целью получения информации относительно влияния стенок на струю при истечении из сопла.
Рассмотрим, по Гельмгольцу, обтекание пластины, половина ширины которой равна Ь и которая удерживается в симметричном положении в струе из сопла, как показано на рис. 12, а. Так же как и раньше, функции W(z) и ?(z) конформно отображают течение на бесконечную полосу с разрезом и на полукруг соответственно.
