Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
нулевой угол. Какие величины, помимо амплитуды рассеяния в физической
области и полных сечений, следует задать, чтобы экспериментально
проверить эти соотношения?
7. Рассмотреть аксиальный векторный ток f ^ в p-распаде нуклона (см.
(10.151)). Предполагая, что дивергенция тока удовлетворяет дисперсионному
соотношению без вычитаний, вывести соотношения Гольдбергера - Треймана
(10.161).
8. Показать, не прибегая к анализу диаграмм теории возмущений, что форм-
фактор пиона Рл(р2) веществен при р2 < 0 (если пренебречь слабыми
взаимодействиями).
9. Найти точки ветвления для электромагнитного форм-фактора 2-гиперона.
10. Используя дисперсионные соотношения для N\ (s), вывести формулу
теории эффективного радиуса, которая обсуждалась после формулы (18.158).
Аппроксимируя N'q полюсом, вычислить Ag (s) и параметры разложения
эффективного радиуса.
ГЛАВА 19
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
§ 137. Введение
В гл. 8 при вычислениях в низших порядках теории возмущений мы выделили
расходимости в диаграммах, отвечающих собственной энергии и вершинной
части, и показали, как, перенормируя заряд и массу электрона, можно
выделить из этих диаграмм конечные выражения. При этом в приближении е2
разность между экспериментально определяемыми зарядом и массой электрона
и их затравочными значениями в уравнениях движения равна бесконечности, в
то время как физические величины, выраженные в терминах перенормированных
заряда и массы, оказываются конечными.
Как мы убедились на примере вычислений гл. 8, перенормировка необходима в
любой физической теории взаимодействия полей. Единственное требование,
налагаемое на физически разумную теорию, заключается в том, чтобы после
перенормировки 5-матрица была конечной.
В дальнейшем мы предположим, что ряд теории возмущений для 5-матрицы
сходится и 5-матрица конечна в каждом порядке разложения по степеням
константы связи. При этом возникает другая важная проблема, а именно,
проблема доказательства сходимости перенормированного ряда теории
возмущений. Мы, однако, не будем здесь обсуждать этот вопрос и
сосредоточим усилия на том, чтобы показать, что все зависящие от
обрезания множители, появляющиеся в разложениях т-функций и 5-матрицы,
можно выделить в константы перенормировки. Наше рассмотрение основано на
использовании методов теории возмущений и фейнмановских правил,
выведенных в гл. 17, а также общих свойствах перенормировочных констант
Z2 и Z3, обсуждавшихся в гл. 16. В качестве применения полученных
результатов мы рассмотрим в конце этой главы квантовую электродинамику
электронов и фотонов.
§ 138]
СВОЙСТВА ДИАГРАММ СОБСТВЕННОЙ ЭНЕРГИИ
293
Программа '), которую предстоит выполнить, состоит из трех частей.
Вначале мы обсудим различные диаграммы с топологической точки зрения и
введем терминологию, удобную при классификации и анализе произвольных
фейнмановских диаграмм. Далее будет дан рецепт перенормировки
произвольной диаграммы "-го порядка. Наконец, мы по индукции покажем, что
этот рецепт позволяет устранить все расходящиеся (т. е. зависящие от
обрезания) величины2) из разложения 5-матрицы.
§ 138. Свойства диаграмм собственной энергии и вершинных частей и
электрон-позитронное ядро
Начнем с установления в общем случае соответствия между константами
перенормировки ZI( Z2, Z3, 6т и фейнмановскими графиками, которое в
приближении е2 было найдено в первом томе. Напомним, что константы Z2 и
6/п относятся к диаграмме собственной энергии (рис. 19.1, a), Z3
появляется при вычислении
Рис. 19.1. Диаграммы второго порядка для собственной энергии электрона
(а), поляризации вакуума (б) и вершинной части (в).
поляризации вакуума (рис.19.1, б), a Z\- при вычислении вершинной части
(рис. 19.1, в). Все эти величины в приближении е2 логарифмически
расходятся, фактическое их вычисление в этом порядке было дано в гл. 8.
Диаграмма рис. 19.1, а появляется при разложении электронного пропагатора
который изображается заштрихованным блоком на рис. 19.2 и представляет
сумму всех связанных графиков с двумя внешними электронными линиями, одна
из которых входит в точке х, а другая выходит в точке х'\ эти графики не
содержат внешних фотонных линий. Структура функции S'f подробно
обсуждалась в гл. 16. Все графики, содержащиеся в S'f, можно однозначно
') Эта программа, вывод соответствующих уравнений и формулировка критерия
перенормируемости теории были впервые даны в статьях [65, 66,. 112].
2) Инфракрасные особенности при этом следует рассматривать отдельно
iS'p (х - х') = (0 | Т (ф (х) ф (*')) | 0),
(19.1)
(см. [77]).
294
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
разделить на два класса, первый из которых содержит компактные, а второй
- некомпактные диаграммы. Компактные диаграммы нельзя разделить на две не
связанные между собой части путем рассечения по одной фермионной линии, в
то время как
для некомпактных диаграмм та-х' ^ ^ кое разделение возможно. Приме-
0 ^22222^ у 0 ры компактных и некомпактных
" диаграмм показаны на рис. 19.3,а
