Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
/<+> (s, cos 0) s== fni (s + ie, cos 0).
S = (Vt+V2f
u=(tr1-v4f
Рис. 18.32. Кинематические переменные для я - я-рас-
Определив аналогичным образом
1 = (f in | n out) = S^\
(18.139)
280 ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ [ГЛ. 18
запишем условие унитарности S-матрицы в виде
ZS^)S^) = 6/,. (18.140)
П
Введем по аналогии с (18.138)
^ + i " (Pf - рп) /}->; (18.141)
тогда, с учетом (18.140), условие унитарности приобретает вид =
<18Л42>
Из определения (18.139) следует, что связана с физической амплитудой
соотношением
fp = /<+>*,
с учетом которого (18.142) в случае, когда i = f, сводится к (18.96).
Мы можем вывести и более полезный результат, согласно которому амплитуда
//Г* получается аналитическим продолжением в точку s - is
под разрезом s ^ 4р.2 в s-плоскости.
Тогда левая часть в выражении (18.142) представляет скачок
амплитуды f (s) на разрезе. Этот результат можно доказать, используя
редукционную технику, рассмотренную в гл. 16. Повторим выкладки § 108,
ведущие от уравнения (16.72) к (16.81), меняя при этом всюду местами in-
и out-состояния. Такая замена отвечает изменению направления времени на
противоположное; в результате хронологический оператор Т(АВ ...)
заменяется во всех выражениях на антихронологический оператор Т(АВ ...).
Например, вместо (16.78) - (16.80), получаем
(ур in | ф (лг) | a. out) = (у in | ф (х) | а - р out) +
+ (у in | а1п (р) ф (х) - ф (х) а0ut (р) I а out) = (у in | ф (*) | а - р
out) -
- J d*y <у in | Т (ф (х) ф (у)) | aout) (? у + tn2) f*p (у), (18.143)
где
Т (ф (х) ф (у)) = Ф (х) ф (у) 0 (г/о - х0) + Ф (У) Ф М 0 (х0 - у0).
(18.144
Взяв свертку по всем частицам, получим (16.81) с заменой in->out, Т -> Т
и (г)ш+"-> (-г)ш+". Аналог формулы (17.21), выражающей т-функцию в
терминах in-полей, получается взятием эрмитового сопряжения. При этом
единственный эффект, связанный с антихронологическим оператором,
заключается в замене -i на -И в выражении ехр(- i \ ). Поэтому можно
$ 1351
Динамические расчеты л-л-рассеяния
281
непосредственно повторить виковскую редукцию, описанную в гл. 17, вводя
всюду антихронологическое произведение полей
iAp (х у) = (0\Т (ф1п (х) ф!п (г/)) | 0) = г ^ ^лу q2 - ц2 - /е '
(18.145)
Антипричинная функция Грина Af{x- у) отличается от фейн-мановской Дf(x -
у) общим знаком и заменой в знаменателе ie->-ге. Аналогичный результат
может быть получен для спинорных и векторных полей. Поэтому мы заключаем,
что, с точностью до знака, переход от f <+) к сводится к замене г'е
на
-ie во всех фейнмановских пропагаторах.
Что же касается фазовых множителей, то в силу (18.145) мы имеем
дополнительный множитель -1 для каждой функции Грина. Кроме того, имеется
дополнительный множитель -1 для каждой вершины, обусловленный заменой
Т ехр (-г ^ Hjdt) ->Т ехр (г ^ Hjdt'j . (18.146)
Наконец, согласно (18.143), имеется еще множитель -1 для каждой внешней
линии, подходящей к вершине, приводящий к разности операторов (а1пф ...)
- (ф^ощ ...), которая отличается знаком от соответствующей разности в
(16.79). Эта комбинация знаков минус дает в результате +1, и мы приходим
к представлению Намбу (18.74). Для взаимодействия Яф3 вершины и фер-
мионные пропагаторы в высших приближениях всегда комбинируются парами1).
Каждый дополнительный бозонный пропагатор приводит к дополнительной
замкнутой петле. Интегрирование по 4-импульсу петли d4 приводит к
дополнительному знаку -1, который обусловлен изменением знака у мнимой
добавки г'е (поскольку при этом контур интегрирования поворачивается в
противоположном направлении), в результате мы имеем четное число знаков
минус. Таким образом, нужно выяснить только общий знак амплитуды /(_) по
отношению к Знак минус, связанный с внешними концами т-функций,
сокращается с минусом в волновой функции (см. формулу (18.143)). Поэтому,
чтобы установить относительный знак ^Г(_) и fw, достаточно рассмотреть
диаграмму нижайшего порядка; в результате мы устанавливаем, что амплитуды
/(-) и /(+) имеют одинаковую фазу, что и отражено в определениях (18.138)
и (18.141). Тщательную проверку сделанных утверждений мы оставляем
читателю в качестве упражнения.
') Для теории Яф4 мы получаем аналогичный результат, поскольку при
подсчете общего числа знаков минус мы можем рассматривать эту теорию как
предел теории с трехлучевой связью.
282
Дисперсионные соотношения
(ГЛ. 18
Таким образом, мы показали1), что амплитуда полу-
чается из изменением знака у г'е в представлении Намбу (18.74), т. е.
переходом от верхнего берега разреза в s-плоско-сти к нижнему2). Учитывая
этот результат, применим теперь условие унитарности (18.142) к
изотопическим амплитудам T/(s, cos 0) с "хорошими" аналитическими
свойствами. Особенно просто выглядит условие унитарности при 4р2 ^ s ^
16ц2, поскольку в этом случае в сумму ? в правой части (18.148) вно-
П
сят вклад только двухпионные состояния. В этой области условие
унитарности сводится к нелинейному уравнению для упругой амплитуды
--*7 [А, (s + г'е, cos Qfi) - A, (s - г'е, cos 0fi)] =
