Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
вклад Снеобходимы дополнительные вычитания. Наличие вычитательных членов
не приводит, однако, к каким-либо дополнительным трудностям.
Физическая амплитуда
обладает теми же аналитическими свойствами, что и У (со), но имеет
дополнительный полюс при со = р2/2М. Вычет в нем
относящийся к я-мезон-нуклонной вершине. Проверку этого факта мы
оставляем читателю. Ответ при этом согласуется с результатом, полученным
из анализа редуцированных диаграмм.
Таким образом, мы вновь воспроизвели все выводы предыдущего раздела, не
используя предположение о сходимости ряда теории возмущений. Поэтому
противоречие дисперсионных соотношений для пион-нуклонного рассеяния
вперед с экспериментом, если таковое обнаружится, будет иметь более
глубокие последствия.
со -
(18.132)
ш
(18.133)
Im Y (со, у) = 0 при | со | ^ р.
(18.134)
00
Re ? (ю) = Д Р \
d(a' Im Т ((c)') со' - со
dai' Im Т (со') , ^
сог - СО ' '
- оо
(18.135)
выражается через матричный элемент (л/k2 + M2s' | ф (0) | A4s),
278
ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
[ГЛ. 18
§ 135. Динамические расчеты я - я-рассеяния с использованием
дисперсионных соотношений
Одним, притом весьма впечатляющим, примером использования техники
дисперсионных соотношений для пион-нуклонного рассеяния вперед является
вывод соотношений, связывающих экспериментально наблюдаемые величины,
проверка которых позволяет сделать вывод о справедливости основных
постулатов в теории поля. В последнее время много усилий уделялось также
и другому аспекту метода, а именно, использованию дисперсионных
соотношений для выполнения динамических вычислений основных характеристик
взаимодействующих частиц. В частности, в области сильных взаимодействий,
где теория возмущений неприменима, дисперсионный подход представляется в
настоящее время наиболее плодотворным.
Возможность динамических вычислений подобного рода связана с применением
весьма грубых приближений, которые часто подвергаются критике.
Справедливость этих приближений весьма редко обоснована теоретически. При
этом поправочные члены не только трудно оценить, но и, вообще говоря,
практически невозможно вычислить, а справедливость приближений может быть
оправдана только путем сравнения результатов расчета с экспериментом
[100-102]. Поэтому мы не будем здесь слишком подробно обсуждать детали
вычислений. Наша цель заключается лишь в том, чтобы дать обзор основных
идей метода с тем, чтобы у читателя сложилось некоторое представление о
дисперсионной картине, такой, как она представляется с наиболее
оптимистической точки зрения.
Рассмотрим случай с простейшей кинематикой, а именно, пион-пионное
рассеяние и вычислим фазы рассеяния и пионную электромагнитную вершину.
Как и в дисперсионных соотношениях для пион-нуклонного рассеяния вперед,
динамические вычисления основываются на использовании аналитических
свойств, а также унитарности (или сохранении вероятности) и кроссинг-
симметрии амплитуды рассеяния.
Отделив кинематические и изоспиновые множители, получим для амплитуды я -
я-рассеяния в системе центра масс налетающих пионов следующее выражение:
t, u)Ph (18.136)
/=о
Кинематика указана на рис. 18.32, где со= V'?2+ Р2; изотопические
проекционные операторы Pi определены формулами (17.54) и (17.55).
Рассмотрим реакцию в s-канале, физическая область которого задана
неравенствами 4р.2 ^ s < оо и 1, н^О. Ампли-
5 135]
ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ я-я-РАССЕЯНИЯ
279
туды реакций в /• и "-каналах при необходимости могут быть построены с
использованием кроссинговых соотношений (17.52) и (17.53).
Хотя аналитические свойства амплитуды рассеяния А (s, t, и) как функции
переданного импульса t (или и) неизвестны, тем не менее в § 132 мы
обнаружили (см. (18.84)), что амплитуда ^(s, cos 0) =/4/(s, t, и) при
фиксированном cos 0 аналитична в s-плоскости с разрезами - со s ^ 0 и 4р2
^ s ^ оо. Из выражений (18.82) и (18.85) следует, что парциальные
амплитуды
1
71/(s) = y ^ d(cos 0) Pi (cos 0) /4;(s, cos0) (18.137)
-l
имеют те же самые аналитические свойства. Ниже мы используем это
обстоятельство, равно как и свойства унитарности и кроссинг-симметрии.
Чтобы применить условие унитарности, нужно обобщить формулу (18.96),
использованную ранее для пион-ну-клонного рассеяния на нулевой угол, на
случай переходов в различные конечные состояния. При этом мы получим
выражение для скачка парциальных амплитуд А\ (s) на разрезе s^4p2,
аналогичное (18.100). Введем временно обозначение:
SH-* = (п out | i in) =
= 6"г-(2я)Ч64(Р"-Р,)/<+> (18.138)
для обычных S-матричных элементов и амплитуд перехода. Если | л) и |г>
представляют двухпионные состояния, то сводится к амплитуде упругого я-я-
рассеяния и отличается от 4(s, cos 0) множителем, пропорциональным s-1. В
частности, при s ^ 4р2 амплитуда ^"<+> определяется представлением Намбу
как предельное значение аналитической функции, когда аргумент s
приближается к разрезу на действительной оси, оставаясь при этом в
верхней полуплоскости:
