Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Смысл этого выражения заключается в том, что Ац(р', р) можно получить из
-2(р), добавляя вершину уц (с передан-
-т*-i------*------V->-
Zw(p)
Л(м(Р',Р)
Рис. 19.28. Фотонные вставки в собственно-энергетическую диаграмму
четвертого порядка.
ным импульсом р' - р) в каждый фермионный пропагатор, содержащийся в
Е(р), и суммируя по всем возможным вставкам (см. рис. 19.28, где
изображены диаграммы собственной энергии четвертого порядка).
Для доказательства явно вычислим дивергенцию от А^(р',р), т. е. величину
(р' - р) MAi*(//, р), и воспользуемся результатами, полученными в гл. 17,
в частности формулами (17.64)
§ 142]
ТОЖДЕСТВО УОРДА
311
и (17.66). Первая из них утверждает, что сумма всех вставок в замкнутые
электронные петли равна нулю, а по (17.66) сумма всех вставок в
электронную линию, которая не образует замкнутой петли, дает в точности
разность двух членов в правой
части (19.17). Тем самым тождество Уорда доказано.
,_1
Из (19.16) можно вычислить Sf (р) и тем самым Е(р), взяв предел р->т.
Напомним, что в гл. 8 и 16 мы установили, что ')
при р-+т. Поэтому при р = т и произвольном р'
(р' - Р)ц г!" (р'> Р) и (р) =
= Sf (р') и (р) - Z21 (р - т) и (р) - Sf (р')и(р). (19.19)
В силу лоренцевой инвариантности и сохранения четности функ-
f - 1
ция Sp (р') имеет следующий вид:
S'-'(p')= р'А(р'2) + В(р'2).
Скалярные функции А(р'2) и В(р'2) непосредственно выражаются через Гц,
если в левой части (19.19) вычислить коэффициенты при р'и(р) и и(р)
соответственно.
Тождество Уорда позволяет не только вычислить Sp (р) при заданном Гц(р',
р), но и определяет Гц через SF в том частном случае, когда р'-*р, т. е.
когда импульс, переданный электромагнитному полю, равен нулю. В этом
пределе (19.19) сводится к
dS'P~l (р) <32 (р)
Гц (р, р) = -или Ац (р, р) = - . (19.20)
Именно эти выражения были получены в оригинальной работе Уорда. Общий
результат (19.16) был получен Такахаши в 1957 г., который исходил
непосредственно из полевых уравнений без обращения к анализу
фейнмановских диаграмм.
Важным следствием тождества Уорда, которое стоит здесь отметить, является
установление общей структуры тензора по-
') Мы не рассматриваем здесь инфракрасную расходимость в Z2. В
действительности привносимую этой расходимостью трудность можно избежать
при помощи метода промежуточной перенормировки (§ 145) или явно вводя
массу фотона. Мы не рассматриваем также проблему калибровочной
инвариантности константы Z2.
312
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
1ГЛ. 19
ляризации вакуума ПцУ(<?)- Взяв дивергенцию от (19.10) и используя
(19.16), находим
С интегралом в правой части мы неоднократно сталкивались ранее, см.,
например, (8.10) и (17.66). Снова предполагая1), что этот интеграл может
быть регуляризован, после чего в нем можно сделать замену переменных,
получим
Отсюда в общем случае следует результат, полученный ранее в (8.20) при
вычислениях во втором порядке теории возмущений
Более того, в любом конечном порядке по е2 функция П(<72) не имеет полюса
при q2 = 0, как это следует из рассмотрения ее аналитических свойств2)
(гл. 18).
Подставив (19.23) в (19.6), получим
При практических вычислениях член с q^qv в (19.24) не вносит вклада,
поскольку Df связана с сохраняющимся током. В любом случае, однако, вид
DP полностью определяется скалярной функцией П(<72) в (19.23). Так как
П(<?2) не имеет полюса при q2 = 0, выражение (19.24) показывает, что
фотонный пропагатор описывает кванты с нулевой массой покоя.
§ 143. Определение перенормировочных констант и правила перенормировки
В этом параграфе мы приступим к фактическому рассмотрению метода
перенормировки. Используя определение констант Zi, Z2 и Z3 (см. гл. 16) и
наш опыт вычислений во втором порядке теории возмущений (см. гл. 8), мы
переопределим про-
>) См. также [116].
2) В действительности П (<?2) имеет разрез при 0 ^ q3 < 00. О возмож-
ности существования полюса в точной (т. е. просуммированной по всем
степеням функции П (q2) и об интерпретации этого полюса см. [63].
qm^ (q) = i \ -Ц- Sp Ytl [Sf (k) - S'P {k + q)\ (19.21)
^1Г(<7) = 0.
(19.22)
(q) = (<7h<7v - f) П (q2).
(19.23)
q2 [1 + e2Il (<72)] D'p (q)^ - е2П (q2) q^D'P (q)kv = - gyv,
откуда
i 143]
КОНСТАНТЫ И ПРАВИЛА ПЕРЕНОРМИРОВКИ
313
пагаторы S'f и Dp, вершину Гр. и заряд е0> причем после такого
переопределения константы перенормировки можно снова связать с 2, П и Гр.
В результате этой процедуры все интегральные уравнения, выведенные на
предыдущих страницах этой главы и являющиеся основой метода
перенормировки, могут быть переписаны в терминах перенормированных
величин. Далее мы покажем, что константы перенормировки и определяющие их
уравнения конечны в каждом порядке по перенормированному заряду е, т. е.
что все зависящие от обрезания множители исчезают при перенормировке, как
это было явно продемонстрировано в первом томе при вычислении во втором
порядке теории возмущений.
Величина Z2, определенная в (16.84), представляет, согласно (16.118),
