Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
При рассмотрении ренормализационной программы необходимо ввести
дополнительную величину, которая не возникает
298 ПЕРЕНОРМИРОВКИ [ГЛ. 19
при вычислениях с точностью е2. Эту величину мы будем называть электрон-
позитронным ядром, или, для краткости, просто ядром. Графически ядро
изображено на рис. 19.10, обозначим его через
А (Р. р', <7)"р. ve-
К состоит из диаграмм с двумя внешними электронными и двумя внешними
позитронными линиями; -р и р' есть импульсы
позитрона и электрона в начальном состояниях, q - переданный электрону
импульс, а а, Р, у и б - спинорные компоненты, указанные на рис. 19.10. В
ядро А включены все четырех-Рис. 19.10. Ядро К электрон-пози- хвостки,
изображенные на тронного рассеяния. рис. 19.10, за исключением гра-
фиков двух типов. Мы не включили в К графики, в которых две внешние линии
(р, а) и (р', р) объединяются в блок А, а две другие внешние линии (р -
q, у) и (р' - q, 6) объединяются в блок В, причем блоки А и В
Рис. 19.11. Два класса диаграмм, исключенных из определения ядра К.
Рис. 19.12. Несвязанные собственно-энергетические части, исключенные из
определения ядра К-
соединяются только одной фотонной линией или электрон-пози-тронной парой
(рис. 19.11). Точно так же исключаются диаграммы, изображенные на рис.
19.12, состоящие из двух несвязанных собственно-энергетических частей. На
рис. 19.13 приведены некоторые диаграммы, которые включены в К. В низшем
порядке
§ 139]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
299
ядро К сводится к диаграмме рис. 19.13, а
К{0) (Р, р', <Д,р, ve = (Уц)ау (Y%- (19.8)
По аналогии с 2, и Гц, из определения К исключаются пропагаторы внешних
фермионных линий, при этом не нужно
Р' р'~р Р' РГ~Р
/В > ' " >-------$ j3-э"---"/\/\/\/*-S
' I
р р-р р р-р
а) 6)
S
Г
Рис. 19.13. Примеры диаграмм, содержащихся в ядре К.
также,учитывать собственных частей в свободных концах диаграммы.
§ 139. Интегральные уравнения
для собственно-энергетической и вершинной частей
В предыдущем параграфе мы определили величины 2, Пиу и Гц. Выпишем теперь
интегральные уравнения, связывающие эти величины друг с другом. Например,
компактная электронная собственно-энергетическая часть удовлетворяет
интегральному уравнению, которое графически изображено на рис. 19,14,
- /2 (р) = (- fe§) \ Ц Юр (й)цу Ги (р, p-k) iS'F (р - k) yv. (19.9)
Это уравнение описывает образование в вершине v электрона и фотона,
которые, прежде чем фотон поглощается в вершине р, взаимодействуют всеми
возможными способами. Отметим, что поскольку (19.9) содержит точные
функции Грина электрона и фотона, Гу в этом уравнении должно быть
сопоставлено вершинной части, а не полной вершинной функций, в противном
300 ПЕРЕНОРМИРОВКИ [ГЛ. 19
случае, например, диаграмма рис. 19 15 учитывалась бы дважды.
Фотонная компактная собственно-энергетическая часть удовлетворяет
уравнению, аналогичному (19.9). Это уравнение
Рис. 19.14. Графическое представление (19.9) для компактной электронной
собственно-энергетической части 2(р)
графически изображено на рис. 19.16: г'еоПУ?) =
в (- ^ (-1) J 7^7- Sp (fe) rv (fe, k + q)-iS'F(k + q). (19.10)
Если бы вершинная часть Гц была известна, уравнения
(19.9) и (19.10) совместно с уравнениями (19.3) и (19.6) для
S'f и D'f образовывали бы замкнутую -Г систему нелинейных интегральных
У г* уравнений, которую можно было бы
решать, например, методом итерации Рис. 19.15 Вклад в 2 (р) по степеням
константы е\. Оказы-
вается, что для Ги можно выписать дополнительное интегральное уравнение,
ядром которого является введенная выше функция К:
Гц (р > р)йу == (Yh)sy
+ S ТадГ ['Т (/>' + Ч) Y" "г (Р + ")],," К"в, ^ (р + ч, р' + q, я) +
+ S ^WF- V + ".) Vs? (Р + X
X х% ip "Ь ?2> Р ?2> ?2 ?l) ^F (Р ?l)(rt, X
XiSp(p + ?i)Kp^po,уб(Р + ?Р Р' + ?1> ?l) + ••• (19.11)
Графически это уравнение изображено на рис. 19.17. В дальнейшем мы часто
будем использовать сокращенную запись
r=Y-$Ysfrs>/c + JjYs>sw(s>s>/c + ...
5 139]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
301
Это выражение описывает превращение внешнего фотона в элек-трон-
позитронную пару, которая перерассеивается всеми возможными способами.
При этом каждому члену в разложении
Рис. 19.16. Уравнение (19.10) для фотонной компактной собственно-
энергетической части 2(р)
(19.11) отвечает различное число виртуальных электрон-пози-тронных пар.
Ряд (19.11) может быть формально просуммирован1) точно так же, как
борновский ряд в теории нepeлятивиcт-
-f
р'+?,Р
+
м
р. г
РГ
р'+Гг,Л
Р'+Р,
Р+Рг.я
Р+Р,
РГ
Р.Т
Рис. 19.17 Последовательные члены в ряду (19.11) для вершины Г^,
выражающиеся в терминах ядра К-
ского потенциального рассеяния суммируется в интегральное уравнение
Липпмана - Швингера. В результате получаем
¦) Этот ряд аналогичен ряду многократного перерассеяния для функции
Грина, полученному в гл. 6. Соответствующее уравнение, которое связывает
полную электрон-позитронную амплитуду вне массовой пооверхности Т с ядром
К, имеет вид
- IT = к + $ KiS'piSpK + 5 KiSpiSpKiSpiSpK +...==
