Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
вероятность обнаружения "голого" электрона в состоянии, описывающем
физический электрон Из общего выражения (16.122) для Sf следует, что
Sf -у ¦. ~т при р-+т. (19.25)
Для массового оператора Е (р) получаем
2(р)->- (Р~ m)(Z2l - 1) при р-*т, (19.26)
откуда следует, что при р->т 2(р) обращается в нуль. Выполнение этого
условия обеспечивается введением массового контрчлена 8т = т - то,
который, согласно правилам, сформулированным в гл. 17, явно содержится в
гамильтониане взаимодействия. Величина 8т в каждом порядке определяется
из (19.26):
Ъ(р = т, 8т) = 0. (19.27)
Отметим, что (19.26) имеет тот же вид, что и вычисленное во втором
порядке теории возмущений выражение (8.42), за исключением того, что
массовый оператор Е(р), используемый в настоящей главе, включает в себя
8т.
Константа Z3 определяется аналогично, как вклад однофотонного состояния в
фотонный пропагатор; она равна, согласно (16.172), вычету пропагатора в
полюсе р2 - 0:
D'f (q\v -> - + градиентные члены при р2-*0. (19.28)
Градиентные члены, как обычно, несущественны, поскольку они не вносят
вклада в S-матрицу1). Тогда из соотношения
') Следует подчеркнуть, что, как это следует из (19.14), градиентные
члены с необходимостью модифицируют т-функции, через которые в свою
очередь выражаются S-матричные элементы. Соответствующие поправки,
однако, можно полностью игнорировать.
314
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
(19.24), связывающего Df с тензором поляризации вакуума, находим
еоП (О ) = Z3_1 - 1.
(19.29)
Сравнив с результатом вычислений во втором порядке теории возмущений
(8.23), получим
где М - масса, на которой производится обрезание.
Наконец, константа Zb связанная с вершинной функцией, определяется так
же, как в примере (8.50), а именно как предел Гц, когда переданный
импульс стремится к нулю, а электронные линии лежат на массовой
поверхности
Правая часть в этом выражении, как показано в (10.88), представляет
наиболее общий вид вершинной функции при нулевом переданном импульсе.
Используя тождество Уорда, мы можем в общем случае доказать весьма
полезное равенство
которое было установлено ранее в теории возмущений. Действительно,
положив в (19.19) р2 = т2 и обозначив р' = р + q, получим
й (р) <рГц (р', р) и(р)= й (р) Sf ' (р') и (р). (19.32)
Взяв производную d/dqa, в пределе <7ц->0 получаем, с учетом (19.30) и
(19.25),
?Г'б (р) УцЫ (р) = Z2~'" (р) Yh" (р).
откуда и следует (19.31).
Идея метода перенормировки заключается в том, чтобы переопределить
пропагаторы и вершинные функции таким образом, чтобы вблизи массовой
поверхности или (в случае вершины) при нулевом переданном импульсе эти
величины совпадали с соответствующими выражениями для свободной частицы.
С этой целью введем, следуя Дайсону [65, 66], перенормированные
пропагаторы и вершинные функции Sf, Df и Г" и перенормированный заряд е:
"(р) гц (Р. Р)" ip) ~ Zi (р) Yц" ip)- (19.30)
(19.31)
S'f(p) = Z2Sf{p), Df (<7Vv = ZzDp (<7)uv, Гц(p', p) = ZT%{p', p),
(19.33)
§ 1431
КОНСТАНТЫ И ПРАВИЛА ПЕРЕНОРМИРОВКИ
315
для которых
Sp (р) 'J'-'m При т'
Dpiq)^-*-+ градиентные члены при <72->0, (19.34) Гц (р, р) -* % при р ->
т.
Основная проблема в методе перенормировок заключается в том, чтобы
показать, что величины Sf, Df и Гц, выраженные через перенормированный
заряд е, конечны, т. е. не зависят от
Рис, 19.29 Первые два члена в скелетном разложении для ядра К-
радиуса обрезания. Эта проблема сильно усложняется расходимостью констант
Z; напомним, что в гл. 8 мы обнаружили, что все эти величины зависят от
обрезания.
Доказательство того факта, что Sp, DF и Гц, а также выражающиеся через
них т-функции конечны, основано на использовании интегральных уравнений и
разложении по скелетным диаграммам, которые обсуждались в начале этой
главы. Поэтому желательно переписать эти уравнения в такой форме, чтобы
они содержали только перенормированные величины. В результате вместо
разложения по е2у можно использовать разложение по перенормированному
заряду е2. К счастью для теории, указанное переопределение не затрагивает
структуру интегральных уравнений.
Начнем с рассмотрения ядра К, которое выражается через Sf, Df, Г и во-
Выпишем в символической записи первые два члена в разложении по скелетным
диаграммам (19.13) (рис. 19.29):
К = ielYD'pY + et J [Г5дГ] DpDp [Г^Г] + ... (19.35)
316 ПЕРЕНОРМИРОВКИ [ГЛ. 19
В терминах перенормированных величин (19.33) это выражение приобретает
следующий вид:
К = ielZ72Z3VD'Ff + е\Z^Z%Z\ J [Г&Г]d'fD'p[Г 2&Г ] + ... =
= Z2-2 {ieYD'pY + eA J [fs^f]d'fDf[fS^f]} + ...
Таким образом, в результате замены (19.33) все перенормированные величины
в первых двух членах разложения ядра оказались выраженными через
перенормированные величины и, кроме того, появился общий множитель Z22 ¦
Нетрудно показать, что указанное свойство имеет место для любого члена в
разложении по скелетным диаграммам (19.13), в результате это разложение
можно записать в виде
K(p,p',q) = Z22 Е KS(p,p',q-,SF,D'F, Г, е). (19.36)
