Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
показать, что интеграл T(q) существует, то тем самым будет показано, что
и исходный интеграл /(</), определенный для физических импульсов q
существует всюду, за исключением тех частных значений импульсов, для
которых интеграл имеет сингулярности Ландау (см. гл. 18). Действительно,
обратное аналитическое продолжение от евклидовых qs к физическим
значениям q всегда возможно; для этого нужно только сделать замену q0-
*q0e-t<Sl и положить ф = я/2. Поскольку мы работаем с хорошо
определенными аналитическими функциями, их аналитическое продолжение
возможно до тех пор, пока мы не подойдем к естественной границе
аналитичности. Однако рассуждения § 127 показывают, что при аналитическом
продолжении мы можем встретить лишь сингулярности Ландау. Отметим, что
указанное обстоятельство было установлено в § 127 только для вершин с
одним внешним импульсом q. Однако этот факт легко обобщить и для
произвольных диаграмм, содержащих несколько внешних линий; для этого
достаточно рассмотреть значения инвариантов, не лежащие на массовой
поверхности и продолжить затем импульсы в евклидову область. Поскольку
число сингулярностей Ландау меньше или равно числу всевозможных
редуцированных диаграмм, а число последних конечно, мы приходим к выводу,
что интеграл I (qs) существует почти всюду для физических qs, если
существует I (qs).
При последующем рассмотрении мы не будем делать различия между импульсами
qs и qs и предположим, что аналитическое продолжение от физических
значений импульсов к евклидовым может быть выполнено всякий раз, когда в
этом возникает необходимость.
Фейнмановские интегралы, определяющие константы перенормировки Z\ и Z2,
требуют специального рассмотрения, поскольку они вычисляются при р2 = т2.
В этом случае критерий сходимости, справедливый только для евклидовых 4-
векторов с ^СО1) неприменим. Поэтому в интегралах для Z\ и Z2 мы сначала
сделаем вычитания, необходимые для того, чтобы превратить интегралы в
сходящиеся, причем вычитания сделаем в точке Рц = 0, которая лежит на
границе евклидовой области. Эта процедура носит название промежуточной
перенормировки. После промежуточной перенормировки пропагатор и вершина
уже не будут должным образом нормированы на массовой поверхности р2 = т2.
Однако мы достигнем нашей цели и
') Таких проблем не возникает с 23, поскольку фотонный пропагатор уже
перенормирован в точке qа == 0.
326
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
покажем, что Sf и Df конечны, если мы сможем показать, что:
1) теория, в которой пропагатор и вершина перенормируются в точке р1х = 0
(а не в точке р2 = tn2), сходится;
2) константы перенормировки, связывающие пропагаторы и вершины,
перенормированные в точке Рц = 0, с функциями Sf и Гц, перенормированными
в точке р2 = т2, конечны (т. е. не зависят от обрезания).
Таким образом, наш подход заключается в том, чтобы выполнить
перенормировку в точке рц = 0, после чего можно использовать любые
теоремы о сходимости интегралов, вычисляемых по евклидовым областям.
Далее мы обсудим смысл промежуточной перенормировки в уравнениях (19.51)
и (19.52) и ее физическую интерпретацию и, наконец, покажем, что
дополнительная перенормировка, необходимая для вычисления Sf и Df,
конечна.
Введем константы промежуточной перенормировки:
Sf (р) - z'i 1S'F(p) = Z2%(p), (19 56)
Гц (р', р) = Z[Гц (р', р) = г,Гц (р', р), определенные так, что
_ Sp (р) -> 1/(р - tn) при Рц-*0, (19 57)
Гц (р, р) -> Yu при 0.
Исходные уравнения (19.51) и (19.52) могут быть теперь записаны в
терминах промежуточно перенормированных величин; для этого достаточно
лишь добавить еще одну тильду в Sp и Гц, заменить Zb Z2 на Z\, Z2 и
заменить граничное условие \р=т на Iр =о- После указанных замен по-
прежнему сохраняется
тождество Уорда, а вместе с ним равенство
7' = 7'
^1 2*
поскольку выражения (19.20) и (19.57) в пределе Рц->-0 сводятся к
(z'2)~l фг (Р ~ м) = (*Г ^ ПРИ Гв °>
откуда
7' = 7'
1 2*
В оставшейся части этой главы мы займемся установлением того факта, что
теория с промежуточной перенормировкой конечна. После того, как мы
убедимся в этом, для доказательства
f л/
конечности Sf и Гц достаточно будет,согласно (19.56) и (19.57),
§ 146]
СТЕПЕНЬ РАСХОДИМОСТИ И КРИТЕРИЙ СХОДИМОСТИ
327
лишь показать, что конечны z\, z2 и т. Последнее же утверждение следует
из обобщенного тождества Уорда
% ' (р) - S'f ' (0) = риГц (р, 0).
Поскольку (р) равна нулю при р = т, параметр т равен
т = р^{р, 0)\,=т. (19.58)
Далее, из условия нормировки Гц и из (19.56) заключаем, что ZiYm. = 21Гц
(р, р) \р=т = Гц (р, р) \р_т. (19.59)
Таким образом, если вершина Гц конечна, то конечны и константы Z\ - z2 и
т. Поэтому истинно перенормированная теория (с одной тильдой) конечна,
если конечна промежуточно-перенормированная теория (с двумя тильдами).
Более .того,
если мы покажем, что Гц(р', р) конечна для евклидовых значений р' и р, то
тем самым мы установим конечность этой величины и для физических значений
р' и р. Последнее утверждение следует из возможности аналитического
