Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
а4 со6
со -энергия в системе центра инерции, со /п,
при релятивистских энергиях о т сечение падает как 1 /со2.
Таким образом, остаются лишь две расходящиеся величины: Гц и ПцУ, которые
обе имеют эффективную степень расходимости Deu = 0. Именно с этими двумя
величинами и связаны все расходимости в квантовой электродинамике.
Напомним, что расходимость Гц и Пцу в теории возмущений всего лишь
логарифмическая.
Как отмечалось выше, не все амплитуды с D < 0 конечны, в действительности
любая собственно-энергетическая или вершинная вставка не изменяет D, но
приводит к расходимости всей диаграммы. Поэтому необходим более
утонченный критерий сходимости, чем простой подсчет степеней. При
этом кое-
что нужно сказать и об интегрировании по некоторому подклассу внутренних
импульсов внутри фейнмановской диаграммы. Указанный критерий был впервые
сформулирован Дайсоном [65, 66] в 1949 г., дополнен затем Саламом [112] в
1950 г. и, наконец, строго доказан Вайнбергом [119] в 1960 г. Теорема
Вайн-берга, к рассмотрению которой мы сейчас приступаем, дает строгий
критерий сходимости фейнмановских интегралов и является основой для
применения метода перенормировок Дайсона- Салама'). Теорема Вайнберга,
однако, оказывается полезной не только при обосновании метода
перенормировок, эта теорема определяет также, с точностью до степеней
логарифмов, асимптотическое поведение фейнмановских интегралов в области,
когда любой фиксированный набор внешних импульсов стремится к
бесконечности. Здесь мы обсудим только часть, относящуюся к
перенормировкам, а рассмотрение асимптотического поведения отложим до §
150.
Чтобы сформулировать и пояснить основные идеи, относящиеся к теореме
Вайнберга, необходимо ввести понятие субграфика диаграммы и внутреннего
интегрирования. Будем называть внутренним интегрированием интегрирование
по некоторому набору 5 внутренних замкнутых контуров 1Г. Часть диаграммы,
по-
') Между тем Боголюбов с соавторами доказал перенормируемссть, используя
несколько другую технику (см. [27]).
§ 146]
СТЕПЕНЬ РАСХОДИМОСТИ И КРИТЕРИЙ СХОДИМОСТИ
333
лученную удалением тех линий, которые не зависят от импульсов входящих в
набор S, будем называть субграфиком. Например, диаграмма рис. 19.32 имеет
три возможных субграфика, изображенных на рис. 19.33. Эти субграфики
отвечают внутреннему интегрированию по Ц при фиксированном /2(а),
внутреннему интегрированию по /2 при фиксированном k (б) и, наконец,
интегрированию по 1\ при фиксированном /) - /2 (в). Мы можем сопоставить
каждому субграфику и связанному с ним внутреннему интегрированию свою
степень расходимости D(S), которая определяется так же, как степень
расходимости диаграммы в целом. В рассмотренном примере D = -3, 0 и -5
для субграфиков (а), (б) и (в) соответственно. Следует отметить, что
полное вычитание в диаграмме 'S, вообще говоря, не уменьшает значения
D(S), за исключением случая, когда импульсы,
отвечающие внутренним линиям данного субграфика, непосредственно связаны
с внешними импульсами в аргументе вычита-тельного члена.
Рис. 19.32. Диаграмма с двумя внутренними импульсами /j и /г. по которым
производится интегрирование.
а)
Рис. 19.33. Три субграфика диаграммы на рис. 19.32 с фиксированными
импульсами /2 (a), it (б) и It - k (в). Подразумевается, что
интегрирование по импульсам пунктирных линий субграфика не производится.
Отметим еще дополнительную проблему, возникающую при попытке приписать
степень расходимости какому-либо субграфику и связанную с наличием
вычитательных членов в фейнмановских интегралах, которые возникают при
разложении перенормированных уравнений (19.51) по степеням е. Напомним,
что вычитательные члены необходимы, чтобы удовлетворить условиям
(19.51в), (19.51 д) и (19.52), которые определяют перенор-
334
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
(ГЛ. 19
мированные значения и Dp. Поясним сказанное на примере диаграммы 19.33.
Выпишем явно вершинную вставку
Г{? (р, р + U) ~ ^ d4l2yvSP (р - /2) уц$р (Р ~h h к) VvDP (U)
( d4l2yvSp (p l2) y^Sp (p l2) yvDp (l2)
p =m
Знаменатель первого члена в этом выражении содержит одну степень импульса
1\, которая вносит вклад в степень расходимости D(U) = -3 для внутреннего
интегрирования по /ь Второй член, однако, не зависит от U, поэтому вклад
в степень расходимости, привносимый этим членом, равен Z)(/i) = -2. В
общем случае будем рисовать в диаграммах ящики с пунктирными
'~1
I !
а)
Рис. 19.34. Ящики с пунктирными линиями, окружающие те части двух
возможных субграфиков в диаграмме рис. 19.32, которые содержат
вычитатель-
ные члены.
линиями, окружающие ту часть диаграммы, в которой выполняется вычитание,
как это показано на рис. 19.34, а и б. Изображенные там диаграммы
представляют собой два единственно возможных субграфика с вычитательными
членами в вершине, их степень расходимости равна D = -2 и 0
соответственно. Процедура подсчета степени расходимости при внутреннем
интегрировании, отвечающем диаграмме с вычитаниями, такова:
