Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
1. Нарисуем ящики с пунктирными линиями вокруг всех вершинных и
собственно-энергетических вставок с вычитаниями.
2. Для внутреннего интегрирования по импульсам, целиком содержащимся
внутри ящика (см., например, рис. 19.34,6) подсчет степеней производится
обычным образом.
3. При подсчете же степени расходимости при интегрировании по замкнутому
контуру, не содержащемуся целиком внутри ящика (см. рис. 19.34, а], этот
ящик следует стянуть в точку и
§ 146]
СТЕПЕНЬ РАСХОДИМОСТИ И КРИТЕРИЙ СХОДИМОСТИ
335
забыть о нем вообще. Последнее утверждение эквивалентно следующему: часть
диаграммы, заключенную внутри ящика с пунктирными линиями, можно не
рассматривать, поскольку импульсы линий, входящих и выходящих из этого
ящика, фиксированы при вычитании.
Действительно, рассмотрим вычитательные члены в вершинной части и
электронной и фотонной собственно-энергетических частях, пропорциональные
соответственно уц> Р и q^qy - g^q2-Степени расходимости, отвечающие этим
вставкам, равны О, +1 и +2. Однако эти степени в точности компенсируются
при учете фермионных и бозонных пропагаторов, содержащихся в собственно-
энергетических вставках, в результате ответ будет такой же, как если бы
ящики с пунктирными линиями не учитывать совсем.
Сформулируем теперь теорему Вайнберга: фейнманов-
ский интеграл сходится, если степень расходимости диаграммы, а также
степень расходимости, связанная с каждым субграфиком диаграммы,
отрицательна. По этой теореме диаграмма на рис. 19.32 расходится из-за
вершинной вставки (рис. 19.33,6) с D(S) = 0. После регуляризации вершины
путем вычитания ее расходящейся части с 0 = 0 (рис. 19.34,6) (напомним,
что от последней можно целиком избавиться, перенормируя вершину) остается
лишь конечная часть с D(S) = -1; теорема Вайнберга утверждает, что полный
интеграл, отвечающий диаграмме 19.32, после регуляризации вершины также
станет сходящимся.
Обсудим на примере той же диаграммы рис. 19.32 основную идею, лежащую в
основе доказательства теоремы Вайнберга. Интегрирование 64/i64/2 в этих
диаграммах производится по восьмимерному 1\ - ^-пространству, которое
схематически изображено на рис. 19.35. Полная степень расходимости,
согласно (19162), равна D = -2; действительно, при интегрировании по
радиусу-вектору в 1\-^-пространстве интеграл для большинства направлений
ведет себя как
Л=0
S)
л=-г / /
' /
/
/Л=-5 /
/
/ *) /
/ /
с-' Л =-2
/
/
С_______________________
а) Л = ~3
Рис. 19.35. Области в 1\ - /г-пространстве и соответствующие степени
расходимости.
336
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ 19
причем фактор /10 в знаменателе возникает из четырех фермионных и трех
фотонных пропагаторов. Однако можно выделить
4-мерные "трубы" в области интегрирования, в которых подынтегральное
выражение ведет себя иначе. Эти трубы отвечают следующим трем областям:
а)/2малои/~( $ ^2)(S "ТГ")'
ограниченная область * '
D( а) = - 3;
б) /, мало и /~( ^
ограниченная область ^
D( б) = 0,
в) /, - /2 мало и /~( ^ d4 (/1 - Z2)) Q '
ограниченная область *
D (в) = - 5.
Очевидно, внутренние интегрирования по этим областям связаны с
субграфиками (а), (б) и (в) на рис. 19.33. Точно так же, субграфики с
вычитаниями (рис. 19.34, а и б), отвечают областям
а) 12 мало и /~( ^ d42)(^ ),
ограниченная область 1
D{ а) = -2,
б) /j мало и /~( ^ d4/l)(S"^')'
ограниченная область 2
D (б) = 0.
Проблема эффективного разбиения фейнмановского интеграла на части,
отвечающие различным областям интегрирования, в каждой из которых
интегралы могут быть оценены, в общем случае была решена Вайнбергом. В
частности, с помощью теоремы Вайнберга можно строго обосновать оценки
интегралов, основанные на вычислении интегралов по конечным областям.
Идеи, рассмотренные в предыдущем примере, можно обобщить и на высшие
порядки, что послужит более глубокому пониманию содержания теоремы
Вайнберга. Пусть имеется k внутренних импульсов; тогда размерность
пространства интегрирования равна 4k. При интегрировании по радиальному
направлению в 4&-мерном пространстве подынтегральное выражение ведет себя
как lD~Ak, где D - полная степень расходимости диаграммы. Однако снова
можно выделить "трубы" раз-
§ 1461
СТЕПЕНЬ РАСХОДИМОСТИ И КРИТЕРИИ СХОДИМОСТИ
337
личной размерности, отвечающие тем субграфикам, которые содержат
пропагаторы, не зависящие от переменных соответствующего внутреннего
интегрирования. Эти пропагаторы во всей
а)
О
г*
С|ч.
'V'VTi S
г'
г
Lv.'VVw4
,лЧ)
Л/V1*
г
Рис. 19.36. Субграфики (б) диаграммы (а), отвечающие расходящимся
внутренним интегрированиям.
области интегрирования остаются малыми и не помогают сходимости интеграла
в целом. При подсчете степени расходимости D(S) для такой трубы
необходимо учитывать только линии,
338
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
целиком содержащиеся внутри данного субграгрика, а остальные линии не
нужно учитывать вообще. Доказательство этого утверждения, данное
Вайнбергом, существенно основывается на
1 -.1
Н
ч I 1_Да
