Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
добавить к этому графику одну внешнюю фотонную линию, то появится
дополнительная внутренняя фотонная линия, в результате D увеличится на 1.
Отсюда dD/dB = -1, где В - число внешних фотонных или бозонных линий.
Точно так же добавление к диаграмме двух внешних фермионных концов влечет
за собой появление внутренней фермионной и внутренней фотонной линий. При
этом D увеличивается на 3 или, в расчете на одну дополнительную внешнюю
фермионную линию F, на 3/2, т. е. dD/dF = -3/2. Отсюда выводим связь D с
числом В и F:
D = 4 - 3/2F - В, (19.62)
где константа, равная 4, получается из рассмотрения любого данного
графика. Например, для электромагнитной компактной
330
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
вершины в нижайшем порядке по е имеем F = 2, В - 1 и D = 0, поскольку эта
вершина сводится к постоянной и не содержит интегрирования по импульсам.
В методе перенормировок мы обычно рассматриваем фейн-мановские интегралы
с одним или несколькими вычитаниями. Примеры такого рода интегралов
встречались при вычислениях в приближении е2. В гл. 8 мы убедились, что,
вводя каждый раз дополнительные внешние импульсы в числитель
подынтегрального выражения, мы зарабатываем дополнительную степень
внутренних импульсов в знаменателе. Это, очевидно, справедливо не только
для интегралов ~е2, но и в общем случае; другими словами, справедливо
следующее правило: каждое вычитание по отношению к некоторому набору
внешних импульсов qs ведет к уменьшению степени расходимости D этого
интеграла на единицу.
Если D < 0, то фейнмановский интеграл имеет достаточное число 4-импульсов
в знаменателе и на первый взгляд сходится. Однако этот интеграл перестает
быть сходящимся, если, например, вставить внутрь диаграммы вершинную
часть, хотя при этом D не изменится. Приведенное рассуждение показывает,
что условие D < 0 для диаграммы в целом, вообще говоря, еще недостаточно
для сходимости фейнмановского интеграла; его нужно дополнить требованием
конечности интегралов, отвечающих каждому из внутренних блоков, которые
можно выделить из диаграммы.
Если, с другой стороны, для данной диаграммы D ^ 0, то она почти
наверняка расходится. В квантовой электродинамике, однако, имеется
ограниченное число расходящихся диаграмм, соответствующих следующим
значениям неотрицательной степени расходимости D:
а) электронная компактная собственно-энергетическая часть 2(Р) D=l;
б) компактная вершинная часть Г^{р',р) D - 0;
в) фотонная компактная собственно-энергетическая часть или тензор
вакуумной поляризации ПцУ(<?)0 = 2;
г) компактная трехфотонная вершина 0 = 1;
д) амплитуда рассеяния фотона на фотоне 0 = 0.
Эти диаграммы изображены на рис. 19.31.
В действительности из указанных пяти случаев достаточно рассмотреть
только случаи б) ив). Собственная энергия электрона а) определяется через
Ги посредством тождества Уорда, и ее можно отдельно не рассматривать.
Трехфотонная вершина г) тождественно равна нулю, поскольку она нечетна
при зарядовом сопряжении. Напомним в этой связи (см. (15.96) и (15.97)),
что в квантовой электродинамике существует унитарный оператор С,
коммутирующий с гамильтонианом, под действием ко-
146)
СТЕПЕНЬ РАСХОДИМОСТИ И КРИТЕРИЙ СХОДИМОСТИ
331
торого электромагнитное поле преобразуется как нечетный оператор:
СЛц (х) С-1 = - А11 (х).
Вакуумное состояние, которое, как обычно (см. (16.2)), предполагается
единственным, является собственным вектором оператора С, т. е. С|0) =
|0), поэтому
(О | Т (А" {х) Av (у) Ак (z)) 10) = <0 | Т (СЛ^ (х) Л? (у) Ах (г)) \ 0) =
= -<0|Г(Л" {х)АЛу) Ак (г)) 10) = *0,
и трехфотонная вершина тождественно равна нулю. Обобщение этого
результата на случай произвольных замкнутых электронных
В=1
а)
В=2
г)
3)
Рис. 19.31. Диаграммы в квантовой электродинамике с неотрицательной
степенью расходимости.
петель с нечетным числом фотонных концов (теорема Фцрри [117]) было
получено в 1937 г.
Хотя для фотонной собственно-энергетической части D - 2, квадратично
расходящийся член, который следовало бы связать с массой фотона, на самом
деле должен быть тождественно приравнен нулю в силу тождества Уорда (см.
(19.21) и (19.22)). Две степени импульса в 11^(9) на самом деле
затрачиваются, чтобы образовать тензор в (19.51), и не вносят вклада в
степень расходимости D на верхнем пределе. В результате Deft = 0 и
расходимость П(<72) всего лишь логарифмическая.
Для амплитуды фотон-фотонного рассеяния (е) ситуация еще лучше. В этом
случае четыре внутренних импульса в фейнманов-ском интеграле
затрачиваются, чтобы образовать четыре электромагнитных тензора (q) ~
(<7цеу - , по одному на
ПерёнормИровки
[ГЛ. 19
каждый внешний фотон. Это есть следствие требования градиентной
инвариантности. В результате эффективная степень расходимости Ьен = -4, а
не 0, что ведет к конечной (в теории возмущений) амплитуде. Этот вывод
был подтвержден Карплу-сом и Нейманом [118] явным вычислением. Истинное
сечение фо-тон-фотонного рассеяния чрезвычайно мало; при низких энергиях
