Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
продолжения амплитуды от евклидовых значений импульса к физическим их
значениям, которая обсуждалась в начале этого параграфа.
В дальнейшем при обсуждении сходимости интегралов мы не будем каждый раз
обращаться к утонченному приему аналитического продолжения к евклидовым
значениям 4-векторов и последующей промежуточной перенормировке,
поскольку эта процедура всегда может быть выполнена в случае
необходимости. Отметим еще, что в квантовой электродинамике метод
промежуточной перенормировки имеет непосредственное отношение к проблеме
инфракрасной расходимости. Поскольку фотон имеет нулевую массу покоя,
нормировка волновых функций в точке ветвления (при обычной перенормировке
в точке р2 = tn2) представляет с математической точки зрения некорректно
поставленную задачу. Мы убедились в этом уже при вычислении собственно-
энергетической части второго порядка в (8.40) и при проверке равенства
Z\=Z2 в (8.42). В обоих случаях мы обнаружили инфракрасные расходимости
при р2-*-т2. Эти расходимости, однако, не возникают в методе
промежуточной перенормировки при рц->-0.
§ 146. Степень расходимости и критерий сходимости
В настоящем параграфе мы детально рассмотрим вопрос об установлении
признака сходимости фейнмановских амплитуд и покажем, как можно устранить
расходимости в квантовой электродинамике [65, 66]. В гл. 8 при
вычислениях во втором порядке
328
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
(ГЛ. 19
теории возмущений было обнаружено, что в интегралах для собственной
энергии и вершины вопрос о характере сходимости интеграла решается
простым подсчетом степеней внутренних импульсов. При этом оказалось, что
сумма степеней импульсов в числителе плюс четыре степени от
интегрирования по внутреннему импульсу d4l равна или больше суммы
степеней импульсов в знаменателе, в результате все указанные интегралы
содержали ультрафиолетовую расходимость при /ц->оо. После вычитаний эти
интегралы приобрели дополнительные импульсы в числителе и в результате
оказались сходящимися.
При переходе к высшим порядкам теории возмущений, когда фейнмановские
диаграммы содержат несколько независимых контуров интегрирования,
возникает вопрос, достаточен ли указанный подсчет степеней внутренних
импульсов в числителе и знаменателе интеграла для установления его
сходимости. Естественно предположить, что подсчет степеней, по-видимому,
все-таки имеет некоторое отношение к вопросу о характере расходимости.
Поэтому, желая выяснить общий критерий сходимости, мы детально рассмотрим
систематический способ подсчета степеней виртуальных 4-импульсов,
входящих в подынтегральные выражения интегралов, отвечающих диаграмме
произвольного порядка.
Вначале определим степень расходимости графика 9 как число степеней
внутренних 4-импульсов в числителе (включая четыре степени, отвечающие
каждому интегрированию по d4lr) минус число степеней в знаменателе;
обозначим степень расходимости через DC&). Пропагаторы каждой внутренней
фотонной или бозонной линии содержат импульс в степени -2, а пропагаторы
каждой внутренней электронной или фермионной линии- импульс в степени -1.
Поэтому в квантовой электродинамике имеем
D = Ak - 2b - f, (19.60)
где b - число внутренних фотонных линий, f - число внутренних фермионных
линий, k - число переменных интегрирования.
Замечательным свойством соотношения (19.60), которым фактически и
обусловлена плодотворность метода перенормировок в квантовой
электродинамике, является то обстоятельство, что величина D не зависит от
внутренней структуры фейнмановских диаграмм, а определяется только числом
и сортом (фотоны или электроны) внешних частиц. Этот факт непосредственно
связан с безразмерностью константы связи е. При этом единственным
размерным параметром в теории является масса электрона пг, зависимость от
которой в ультрафиолетовом пределе /ц-*- оо исчезает. Поэтому вставка в
данную фейнмановскую диаграмму все большего и большего числа внутренних
фотон-
§ 1461¦
СТЕПЕНЬ РАСХОДИМОСТИ И КРИТЕРИИ СХОДИМОСТИ
329
ных линий не меняет ее размерность. Прямое доказательство сделанного
утверждения состоит в следующем. Вставка каждой фотонной линии в
диаграмме автоматически влечет за собой вставку двух фермионных линий и
дополнительное интегрирование по d4lr. Из (19.60) следует, что полное
изменение D равно при этом
AD = 4 А? - 2 Л6 - Л/ = 4 - 2 - 2 = 0. (19.61)
Таким образом, мы подтвердили соображения, основанные на анализе
размерностей и устанавливающие, что D зависит только
Рис. 19 30. Упрощение компактной диаграммы путем удаления дополнительных
линий, которое удобно при вычислении степени расходимости D.
от числа внешних линий. В теориях, содержащих связи с производными и
размерные константы связи, изложенные аргументы неприменимы, в таких
теориях нарушается также вся схема перенормировок.
Используя (19.61), можно вычислить D для любого компактного графика,
последовательно упрощая его до тех пор, пока мы не получим достаточно
простой график, например вида, указанного на рис. 19.30. Если теперь
