Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бьёркен Дж.Д. -> "Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля" -> 105

Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.

Бьёркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля — М.: Наука, 1978. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): relyativiskayakvantovayateoriyat21978.djvu
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 138 >> Следующая

скелетные диаграммы S
Сопоставим далее каждой вершине скелетной диаграммы половину множителей,
относящихся к фотонной линии и к двум фермионным линиям. Остальную
половину множителей отнесем к другой вершине или к внешним линиям. В
результате каждая вершина содержит множитель Zf'. возникающий при
перенормировке Гц (см. (19.33)), множитель (д/%г" )2> связанный
с электронными линиями, и множитель л/zl, связанный с фотонной линией,
причем предполагается, что все эти линии - внутренние. Поэтому полный
коэффициент в вершине равен
?oZi Z2 д/Z$ = е.
Если же в вершину входят внешние электронная или позитрон-ная линии,
множитель д/Z2, связанный с каждой из таких линий, следует опустить,
поскольку пропагаторы внешних линий не включены в определение К¦ В
результате возникает полный множитель Z22, как и указано в (19.36). Этот
результат позволяет ввести перенормированное ядро R:
К (Ру р'> q) - Z2K (р, р', q) =
= Z KS{p,p',q\S'F,DF,Y,e). (19.37)
скелетные диаграммы S
Аналогичное масштабное преобразование может быть выполнено для
фейнмановских амплитуд с произвольным числом
§ ИЗ]
КОНСТАНТЫ И ПРАВИЛА ПЕРЕНОРМИРОВКИ
317
внешних линий. Например, для т-функции с m внешними фер-мионными и п
внешними фотонными линиями получаем
т(р, ... рт, qx ... <7")в| ...^ =
= Z2m/2Zf Z ts (р, ... рт, qi ... qn\ Dp, Г, 4 " ^
скелетные 1 * я
диаграммы S
= ZTl2Z%l2x (pi ... рт, qx . .. qn)^ _ (m + n>3). (19.38)
Доказательство проводится аналогично (19.36) с той лишь разницей, что
теперь нужно учесть, что в т-функцию включены пропагаторы внешних концов,
которые не содержатся в определении К¦ В этом случае для перенормировки
вершин достаточно множителя Vz ; в результате в (19.38) возникает
множитель <sjz для каждой внешней линии.
Для S-матричных элементов ситуация еще проще. Из редукционной формулы
(см. (16.139) и (16.148)) следует, что инвариантный S-матричный элемент
получается из т-функции умножением на (р - m)/V^2 для каждой электронной
линии и на WVzT для каждой фотонной линии, после чего следует перейти на
массовую поверхность: р-+т, q2-+ 0 - и подставить волновые функции
свободных частиц, отвечающие внешним линиям (не забывая при этом о
множителях i). Поскольку перенормированные пропагаторы внешних линий на
массовой поверхности равны (р - т)-1 и -(q2)-Igruv, мы приходим к
замечательно простым правилам вычисления S-матричных элементов, которые
заключаются в следующем.
1. Нарисуем все скелетные диаграммы.
2. Вычислим по фейнмановским правилам соответствующие амплитуды,
подставляя еГц для вершин и Sf и Dp для внутренних линий.
3. Подставим свободные волновые функции
. 8ц , л/-^-и{р), й(р)л/-^- и т.д.,
л/2к (2л)3 V Е (2я)3 И V Е (2л)3
отвечающие внешним концам диаграммы, причем в этих функциях не нужно
учитывать множители Z или собственно-энергетические вставки, поскольку VZ
в (19.38) сокращается с ^fz в редукционной формуле. Мы видим, что вопрос
о конечности S-матричных элементов ни коим образом не связан с
расходимостью множителей Z, а сводится лишь к изучению конечности функций
Sp, Dp и Гц и условий сходимости интегралов, отвечающих скелетным
диаграммам.
318 ПЕРЕНОРМИРОВКИ 1ГЛ. 19
Интегральные уравнения, определяющие, вершину Гц, равно как и тождество
Уорда, позволяющее вычислить пропагатор электрона Sf через вершину Гц,
также подлежат перенормировке. Подставив (19.33) в (19.12), получим для
вершины
(19.39)
где константа Z\ определяется из условия (19.34)
(Р, Р) \р"т = Уц- (19.40)
Поскольку Zj == Zi, тождество Уорда при перенормировке не
меняется
(р' ~ Р)* Гд (//, р) = S7l (р') - (р). (19.41)
В частности, выражение (19.19) справедливо и для перенормированных
величин
(р') = (р' - Pl Г'1 (//, р) |,_т, (19.42)
где обозначение \fi=m указывает на то, что р2 - т2 и каждый
множитель р в вершине следует заменить на т.
Поскольку тождество Уорда позволяет выразить Sf непосредственно через Гц,
не возникает необходимости рассматривать отдельно уравнение для
электронной собственно-энергетической части. Перенормировку этого
уравнения мы оставляем читателю в качестве упражнения.
Рассмотрим еще, как перенормируется фотонный пропагатор и тензор
вакуумной поляризации. Сделав замену (19.33) в уравнении (19.24), получим
/V / \ ~?цу______________9ц9у*рП (? ) C1Q 441
+ q^z3 + Z3eln(q2)] '
Вспомнив определение (19.29) константы Z3 и отделяя значение П(<72) при
q2~0
П (<72) = П (0) + Пс (<72),
где и
получим
Пс(0) = 0
n(o) = B0"2(z3"1-i) = -L--r. (19-44)
К',-Ч _ I 1 1
VPWv"- q*[\+e4Ic(q*)} ? \_Zrf <?2[1 +е2Пс(?2)]Г
(19.45)
§ 144] ПЕРЕНОРМИРОВАННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 319
Напомним, что в силу сохранения тока члены, пропорциональные qnqv не
вносят вклада в S-матричные элементы. Поэтому при вычислении S-матрицы в
(19.45) выживает только первый член и пропагатор D р (q)№V фактически
определяется лишь функцией Пс(<72). Согласно (19.10), (19.23), (19.33) и
(19.44) выражение последней через перенормированные величины таково:
nMV (я) = Mv ~ SuvQ2) [П (0) + Пс (<72)] =
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed