Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
нижайшем порядке по е2, как было проверено в гл. 8 явным вычислением,
степени расходимости функций Гц и Пс(<72) = П(</2) - П(0) отрицательны,
поэтому эти величины определяются сходящимися (т. е. не зависящими от
обрезания) интегралами. Аналогичное утверждение справедливо для функций
Sp и Dp, которые выражаются через Гц и Пс(<72). Предположим, что
сделанные утверждения справедливы с точностью до членов порядка п - 2, т.
е. предположим, что в порядке п- 2 степени расходимости всех субграфиков
в Гц и Пс(^2) отрицательны, и потому эти величины, а также Sp и Dp
конечны. Далее, итерируя уравнения (19.51) и используя теорему Вайнберга,
мы покажем, что сделанные утверждения справедливы
342
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
с точностью до членов порядка п. Тем самым мы установим тот факт, что S-
матричные элементы конечны в любом порядке по заряду е.
Начнем с рассмотрения скелетных разложений (19.51а) и (19.516) для
функций т (с четырьмя и более внешними линиями) и для ядра К. При
вычислении функций т и К в данном порядке по е их скелетные разложения
содержат конечное число диаграмм. Более того, поскольку функции К и т
включают по крайней мере две вершины взаимодействия, то они являются
величинами порядка по крайней мере е2 (при е2 ->0). Поэтому при
вычислении т и К в приближении еп достаточно рассмотреть пропагаторы и
вершинные функции, перенормированные лишь в приближении еп~2. Так как
скелетные разложения (19.51а) и (19.516) содержат перенормированные
вершинные и собственно-энергетические части, а последние, в силу
предположения индукции, конечны в приближении еп~2, мы видим, что
соответствующие вставки S в диаграммы я-го порядка имеют D(S)< 0. Так как
субграфики S с D{S)> 0 могут возникать только от вершинных и собственно-
энергетических частей1), функции т и R в я-м порядке вообще не содержат
расходящихся субграфиков. Далее, заметим, что т и К не содержат
расходящихся внутренних интегрирований, связанных с вычи-тательными
членами в Гц, nc(<72),S^ и Df, поскольку, как было отмечено ранее,
указанные расходимости могут возникать только в том случае, когда
соответствующий субграфик целиком лежит внутри некоторой вершинной или
собственно-энергетической части. Что же касается полной степени
расходимости интегралов для т-функций и ядра К, то она заведомо
отрицательна, поскольку сомнительным преимуществом иметь D > 0 обладают
только вершинная и собственно-энергетическая функции (см. § 146).
Приведенные рассуждения показывают, что функции К и т и S-матричные
элементы конечны в порядке еп, так как в указанном порядке эти величины
содержат конечное число диаграмм З с D(&) < 0, все субграфики S которых
также имеют отрицательную степень расходимости D(S)< 0.
Наше доказательство, однако, не закончено, поскольку остается еще
установить конечность функций Гц и Пс(<72) или Df в порядке еп, что
удобно сделать с помощью уравнений
>) Принимая во внимание градиентную инвариантность квантовой
электродинамики, мы можем снова не рассматривать блоки фотон-фотонного
рассеяния. Эти блоки в произвольной диаграмме можно выделить однозначным
образом, причем соответствующие субграфики не перекрываются (что можно
показать способом, аналогичным изложенному в § 141). При суммировании
диаграмм с четырьмя внешними фотонными линиями, отличающихся
перестановкой фотонов, эффективная степень расходимости уменьшается с D -
0 до D = - 4.
S 147]
КОНЕЧНОСТЬ ПЕРЕНОРМИРУЕМОЙ ТЕОРИИ
343
(19.51 в) и (19.51 е). В силу тождества Уорда конечность Sf следует из
уравнения (19.51 г), коль скоро доказана конечность Гц.
Для вычисления Гц в п-м порядке подставим в (19.51в) функции Sf, Гц и К,
вычисленные с точностью до еп~2\
5 "~2,Гt2>§Fn~2)K(n-2) = Z\n\ц - Г?" = - Л(цп), (19.63)
где значок п указывает порядок по е, в котором производятся вычисления.
Наша задача заключается в том, чтобы показать, что после одного
вычитания, которое необходимо для перенормировки вершины Гц, функция AfT*
остается конечной, т. е. что выражение
(рр) = л?'(р', р) - Кп) (р, р) \fi=m
представляется суммой не зависящих от обрезания интегралов. Чтобы
применить теорему Вайнберга, выясним вначале, может ли какой-либо
субграфик в (19.63) иметь отрицательную степень расходимости. Согласно
гипотезе индукции субграфики с D(S)^ 0 не содержатся в членах порядка
еп~2, относящихся к вершине Гц1), пропагаторам Sf и ядру R. Поэтому
остается рассмотреть только те внутренние интегрирования 3, которые
содержат импульс / пропагаторов Sf (рис. 19.41).
Два электронных пропагатора в субграфике рис. 19.41, а привносят по
крайней мере две степени импульса в знаменателе. Поэтому этот субграфик
расходится только в том случае, когда часть его, относящаяся к ядру R,
имеет степень расходимости D(R) ^ -2. Посмотрим, в каком случае это может
быть. Подозрительными с указанной точки зрения являются, во-первых,
диаграммы нижайшего порядка, а во-вторых диаграммы, содержащие вычитания
(см. рис. 19.41,6). Все эти диаграммы имеют D(R) =-2. Кроме того,
