Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
отвечающая <3. Последнее утверждение есть следствие того обстоятельства,
что вершинные и собственно-энергетические вставки в диаграммы можно
определить однозначным образом.
Скелетные разложения для произвольных т-функций (включая пропагаторы и
собственно-энергетические части) могут быть получены тем же способом, что
и в случае ядра К. Для т-функ-ции с т внешними фермионными концами и п
внешними
Рис. 19.22. Скелетные диаграммы, не включенные в разложение для К на рис.
19.21
306 ПЕРЕНОРМИРОВКИ [Г'Л р
фотонами в импульсном пространстве имеем т (pi ... рт, <71 ... qn)ai ...
ат, и, ... цп =
~?xS (Pi • • • Рт' ' • Qn' Spy Dp, Г, e0)Oi ат,м., ...
m + "> 3, (19.14)
где ts (p\... pm, q\... qn', SP, DF, Г, e0) - вклад в т-функцию тех
фейнмановских диаграмм, которые отвечают данному скелетному графику S.
Рис. 19.23. Разложение (19.15) для вершины Г^.
Нетрудно выписать также скелетное разложение для вершины Гц ')
Гц (//, р) = Уц + S К(р, р; Sf, Df, Гц, е0), (19.15)
s
которое графически изображено на рис. 19.23.
') Здесь подразумевается, что когда мы рисуем ящики, окружающие
внутренние вершинные части, ящик, окружающий полную вершину, должен быть
опущен.
§ 141]
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА
307
Для собственно-энергетических частей скелетное разложение оказывается не
столь полезным ввиду существования перекрывающихся расходимостей.
Например, для диаграммы, изображенной на рис. 19.24, радиационные
поправки сводятся к вершинной поправке либо к блоку Л, либо к блоку В (но
не к обоим блокам вместе). Поэтому полную собственно-энергетическую часть
нельзя однозначно построить, исходя из скелетных диаграмм1).
Эту трудность, однако, можно обойти, рассматривая вместо скелетного
разложения непосредственно
(19.10) для IV
Рис. 19.24. Пример перекрывающихся собственно-энергетической и вершинной
вставок.
интегральное уравнение
§ 141. Топологическая теорема
При рассмотрении в предыдущем параграфе собственноэнергетических и
вершинных вставок мы установили, что окружающие их ящики могут быть
нарисованы таким образом, что
они не перекрываются во всех случаях за исключением вершинных вставок в
собственноэнергетические части. Тот факт, что ящики, окружающие
собственно-энергетические вставки, либо полностью разделены, либо лежат
один внутри другого, но никогда не перекры-
ваются, является самоочевидным. Прежде чем в общем случае показать, что
вершинные вставки могут перекрываться только тогда, когда они содержатся
внутри собственно-энергетических блоков, рассмотрим простой пример,
иллюстрированный рис. 19.25. Стенки каждого ящика, содержащего вершинную
вставку, по определению пересекают только две электронные и одна фотонная
линия. Предположим, что на рисунке указаны все линии, пересекающие
неперекрывающиеся стенки; тогда остальные линии можно
нарисовать так, как это показано на рис. 19.26, а. При этом,
') Единственными скелетными диаграммами, содержащимися в и 2, являются
диаграммы второго порядка.
Рис. 19.25. Пример вершинной вставки.
308
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
однако, мы получаем несвязанные собственно-энергетические и вершинные
части (рис. 19.26,6).
Покажем теперь, что вершинные части перекрываются только внутри
собственно-энергетических вставок. С этой целью прямым графическим
построением мы убедимся в том, что можно последовательно устранить
перекрытие между вставками во всех остальных случаях. Соответствующее
графическое построение выполнено на рис. 19.27 для всех случаев, кроме
тех,
а) б)
Рис. 19.26. Попытка нарисовать перекрывающиеся вершинные вставки внутри
вершинной части диаграммы приводит либо к несвязанной собственно-
энергетической вставке (а), либо к несвязанной вершинной вставке (б).
Перестановка фотонной и входящей электронной линий приводит к
аналогичному
результату.
которые уже рассматривались в примере рис. 19.26. Ящики, вообще не
содержащие линий, проходящих через неперекрываю-щиеся части, либо
содержащие одну такую линию, невозможны, а собственно-энергетические
ящики, содержащие две такие линии, рассматривать не следует.
§ 142. Тождество Уорда
При устранении расходимостей в квантовой электродинамике важную роль
играет обобщенное тождество Уорда [114-115], которое позволяет связать Sf
непосредственно с Гц. Это тождество является непосредственным следствием
дифференциальной формы закона сохранения тока и утверждает, что
{p,-p\Y"(p',p) = [s'P~\p')-S7'{p')\ ' (19.16)
Очевидно, что голая вершина уц и свободный пропагатор SF(p) = (р - т)~1
удовлетворяют (19.16), поэтому., используя (19.3) и (19.7), это выражение
можно переписать в виде соот-
§ 142]
ТОЖДЕСТВО УОРДА
309
(Невотвжт)
Рис 19.27. Перечень диаграмм, показывающий, как можно избежать
расходимостей во всех случаях, за исключением случая вершинных вставок
внутри собственно-энергетических частей (рис. 19.24).
310
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
ношения между вершинной частью и компактной собственноэнергетической
частью:
(р'-р\А"(р', р) [S(p0 -S(p)]. (19.17)
