Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
= iZx J -Цг Sp YllS' (k) f v (k, ft + <?) S'p{k + q). (19.46)
§ 144. Сводка формул:
перенормированные интегральные уравнения
Мы в основном закончили построение формального аппарата, используемого в
методе перенормировок. Ниже мы выпишем сводку формул, необходимых для
вычисления S-матричных элементов.
Для неперенормированных величин имеем *)
т(р! ... Рт, <71
= Z ^(Р, • • • рт, Я, ¦ ¦ ¦ <7"; S'p, D'P, Г е0) , (19.47а)
скелетные и1 • • •
диаграммы S
Кав, Y6 (р, р', Я) = Е Я'аЗ, Y6 (р> р', Я> Sf, Dp, Гцбо), (19.476)
скелетные диаграммы S
Гц (р', p)y" = (\>Лб +
+ S 7W tiS'F (р + ^ Ги {р' + ъ р + q) iS'F (р + х
X КаЗ, "V (р + <7. Р' + 9, я) = Yu - 5 ^SfSfK =
^Уц + Лц(р', р), (19.47b)
sT1 (р') = (р' - р), ru (р', р) |,_т, (19.47г)
Df (<7)(xv = - + члены c (19>47д)
ПцЧ (<7) = (<7n<7v " M2) П (<72) =
= W SP Vr № rv (*. k + 9) ^ (k + <?)• (19.47e)
¦) См. уравнения (19.14), (19.13), (19.12), (19.19), (19.24) и (19.10)
для случаев (19.47 а, б, в, г, д, е) соответственно.
320 ПЕРЕНОРМИРОВКИ ГГЛ 19
Эти уравнения поволяют полностью определить т-функции в виде разложения
по степеням е\. В первом неисчезающем порядке по для вычисления функций
т, К и П в (19.47а) -
(19.476) и (19.47в) величины Sf, Df и Гц следует заменить на Sf, DP и уц.
После этого, используя (19.47в) и (19.47г), можно вычислить в том же
порядке Гц и Sf. Функцию Df можно вычислить с точностью если подставить в
(19.47д) нулевое приближение для П в (19.47е). Указанные вычисления были
фактически проделаны в гл. 8. Полученные при этом значения Sf, D' и Гц,
которые содержат поправки порядка el, можно затем подставить обратно в
(19.47а), (19.476) и (19.47е), после чего описанную процедуру следует
повторять до тех пор, пока не будет достигнута желаемая точность.
Отметим, что в (19.47) не выписаны уравнения, определяющие электронную
собственно-энергетическую часть
2 W = iel S W D'p Wpv (Р> Р - k) S'f (Р- k) Yv- (19.48)
Эти уравнения не нужны, поскольку тождество Уорда (19.47г) позволяет
определить Sf непосредственно через Гц.
Производя в (19.47) перенормировку1)
eo = /\JZ3l е,
S'f(p)=Z2Sf(p),
К(я)^ = г3?>'Р(я)^,
Гц (р', р) = 2Г*Гц (р', р),
К (Р, р', я) = Z22K (р, р, Я),
t(pl Рт, <71 ••• 4n)at ...ц" =
= Zp2Zfx (р, ... Рт, я,... Яп)ах ... цл (19.49)
и учитывая, что вследствие тождества Уорда
= (19,50)
1) См. (19.31), (19.33), (19.37) и (19.38).
5 144] ПЕРЕНОРМИРОВАННЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 321
мы получаем вместо (19.47) следующую систему уравнений1): т(р\ .. . рт,
q 1 . • • <7/i)tt| ,,,цп~
= X х (Pi • • • Рт, Ч\ • • • Чп, Df, flt, е
скелетные диаграммы S
KaR.yiip, Р'> Ч) - Z Яав, ув(р. р', Ч' Sf, Df, Гц, е), (19.516)
скелетные диаграммы S
Гц, (р t р)уб ~ Z\ (Уц)уб
- S № + Я) Гр (р' + ч,р + ч) S'f (р + д)\а X
ХКа^йу(р + ч, р' + ч,ч) (19.51 в)
или
Г. - z.v. - $ =?, + *; <р', р),
Ъ7' (р') = 1р'-rt.PV, (19.51г)
D f (ч)\1\= ^2 [1 _|_ ег щ д ^о)}] Ь члены с g^gv, (19.51д)
Пц" (q) = (ч^Чу - Я"уЧ2) п (ч2) =
= г'М WSPYaSE(^)rv(^, k + q)S'P(k + q), (19.51е)
где
П (<?2) = П (0) + Пс (q2), Пс (0) = 0.
Используя эти шесть уравнений, можно вычислить все S-матричные элементы,
заменяя в перенормированных т-функ-циях (19.51а) внешние пропагаторы Sf и
б'Р волновыми функциями свободных частиц, причем, как было указано выше,
в волновых функциях не нужно учитывать множителей Z.
Уравнения (19.51) вместе с граничными условиями2) для определения
констант Z\ и Z3
Гц(р.Р)1в=т=^ц, ± = ±-П{0) = ^ (19.52)
составляют замкнутую систему, из которой можно вычислить все т-функции и
S-матрицу в виде разложения по степеням перенормированного заряда е. Эти
уравнения позволяют выписать также разложение по степеням
неперенормированного заряда. Действительно, подставим в (19.51 в) ядро Я,
вычис-
') См. (19.38), (19.37), (19.39) и (19.42), (19.45) и (19.46).
2) См. формулы (19.40) и (19.44).
(19.51а)
322
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
ленное в низшем порядке по е, и Sf ж{р - т) тогда, используя (19.52),
получим Гц и Z] с точностью е2. Далее, из тождества Уорда (19.51г) можно
вычислить Sf с точностью е2, a Df в том же порядке определится из
(19.51д), если подставить в это уравнение нулевое приближение для П^-
Используя значения величин Sf, Df, Гц и Z\, вычисленные в приближении е2,
можно затем вычислить К и т в следующем приближении по е, после чего
описанная процедура повторяется1).
До сих пор мы, однако, не выяснили, существует ли решение
перенормированных уравнений (19.51). Появление Z\ в свободном члене
уравнения для вершины (19.51 в) не слишком опасно, поскольку бесконечный
свободный член можно устранить вычитанием расходящейся части интеграла в
правой части этого уравнения. Более серьезная трудность связана с
появлением множителя Z\ перед интегралом, определяющим П^Дд). В
действительности эта проблема представляет наиболее трудную из тех, с
которыми мы столкнемся при проведении программы перенормировок.
Аналогичная трудность возникает при прямом вычислении электронной
собственно-энергетической части непосредственно из (19.48). В последнем
