Релятивистская квантовая теория. Том 2. Релятивистские квантовые поля - Бьёркен Дж.Д.
Скачать (прямая ссылка):
^K + ^KiSpiSpi-iT)
и называется уравнением Бете - Солпитера. Оно представляет релятивистский
аналог интегральной формы двухчастичного уравнения Шредингера, при этом
величина iK аналогична потенциалу V (см. [ИЗ]).
302
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
[ГЛ. 19
(рис. 19.18)
Гц (р , р)бу ==
= (Vn)eY + 5 щф (р' ^ (р' ^ Р' Р ^ ^'F (Р ^
XKafs,yn(p + q, р'+ q, q) (19.12)
или в символической форме
Естественно задать вопрос, в чем заключается польза полученных
интегральных уравнений. С точки зрения практических
Рис. 19.18. Интегральное уравнение (19.12) для вершинной части.
вычислений мы достигли немногого-выразили неизвестные величины S'f, D'f и
Гц через неизвестное же ядро К. Однако с точки зрения метода
перенормировок связь S'f, D'f и Гц с К чрезвычайно полезна. Причина этого
заключается в том, что расходимости в ядре К возникают только из-за
собственно-энергетических и вершинных вставок во внутренних линиях;
позднее мы обсудим этот пункт более подробно. Поэтому перенормировка ядра
К выполняется относительно легко, а обсуждение более сложных вопросов об
устранении расходимостей в 2, и Гц облегчается, если использовать
интегральные уравнения, связывающие каждую из этих величин с ядром К-
§ 140. Интегральные уравнения для т-функций и ядра К', скелетные графики
Центральную роль в программе устранения расходимостей играют функции 2,
nuv и Гц, введенные в §§ 138, 139. Все остальные величины в теории: S-
матричные элементы, т-функ-ции и, в частности, ядро К - выражаются через
эти три величины, точнее, через S'f, D'f и Гц. Однако для т и К не
существует замкнутых уравнений, аналогичных тем, которые были рассмотрены
в предыдущем параграфе. Вместо этого мы соберем вместе диаграммы, дающие
вклад в т и К, которые различаются только собственно-энергетическими и
вершинными вставками;
§ 140] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ Т-ФУНКЦИЙ И ЯДРА К 303
эти вставки существенны при получении конечных ответов в теории.
Рис. 19.19. Пример произвольной диаграммы, на которой каждая
собственноэнергетическая и вершинная вставки окружены ящиками.
Вначале рассмотрим графики, которые содержатся в ядре К, и выделим в
каждом из них собственно-энергетические и вершинные вставки. С этими
вставками легче всего разобраться, если заключить каждую из них в ящик,
как это показано на рис. 19.19.
Из этого рисунка заключаем, что ящики, содержащие внутри себя различного
рода вставки, либо полностью разделены, либо заключены один внутри
другого с единственным исключением: в случае собственноэнергетических
вставок ящики могут перекрываться. Указанное топологическое свойство
оказывается справедливым и для произвольных диаграмм: ящики, содержащие
вершинные и собственно-энергетические вставки, могут быть всегда выбраны
таким образом, чтобы они не пересекались, за исключением случая вершинных
вставок в собственно-энергетиче-
Рис 19.20. Скелетная диаграмма, отвечающая диаграмме рис. 19.19.
304
ПЕРЕНОРМИРОВКИ
{ГЛ. 19
ские части. Доказательство этого утверждения мы приведем в§ 141.
Используя сформулированный результат, можно однозначно сопоставить
каждому графику 2?, содержащемуся в К, другой
Рис. 19.21. Отдельные члены в разложении (19.13) для ядра К-
график S, который будем называть скелетным. Скелетные диаграммы
получаются стягиванием всех ящиков, содержащих внутри себя собственно-
энергетические и вершинные вставки, в точку; другими словами, эти
диаграммы не содержат указанных вставок вообще. На рис. 19.20 изображен
скелетный график, отвечающий диаграмме 19.19. Наоборот, любой график,
входящий в К, можно построить из соответствующего скелетного
§ 140] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ Т-ФУНКИИП И ЯДРА К
305
графика, вводя в последний различного рода вершинные и собственно-
энергетические вставки.
Обозначив через Ks (p,p',q\ SF, DP, уд, e0) вклад тех фейнмановских
диаграмм которые совпадают со своими скелетными, мы можем записать полное
ядро К в виде суммы по всем скелетным графикам, в которой, однако, каждой
электронной и фотонной линиям нужно сопоставить точные функции Грина Sf и
Df, а каждой вершине - точную вершинную функцию Гд:
Ка&, V8 (р. р', я) = И КаВ, уй (р, Р , Я', Sf, Df, Гд, во) -
S
= (- й?о)2 г?у (р, Р - я) IDf (<7)цу Гйв (р' - Я у р') + ••• (19.13)
Графическая запись уравнения (19.13) представлена на рис. 19.21. Отметим,
что скелетные графики, изображенные на рис. 19.22, не включены в
разложение для ядра К, поскольку эти графики можно разделить на две
части, соединенные либо фотонной линией, либо электрон-пози-тронной
парой, и они в соответствии с определением, сформулированным в § 138, не
содержатся в указанном разложении.
Для того чтобы убедиться в справедливости разложения (19.33), достаточно
заметить, что любой график <§, содержащийся в К, появляется в разложении
по скелетным диаграммам один и только один раз, поскольку, во-первых,
соответствующий & скелетный график S определен однозначно и, во-вторых, в
графическом разложении К существует одна и только одна диаграмма,
